1. 投影
向量 $ b = (2, 3, 4)$ 在 \(z\) 轴上和在 \(xy\) 平面上的投影是什么，哪个矩阵能产生到一条线上和到一个平面的投影？
当 \(b\) 被投影到 \(z\) 轴上时，它的投影 \(p\) 就是 \(b\) 沿着那条线的部分。当 \(b\) 被投影到一个平面时，它的投影就是 \(b\) 在平面中的部分。
到 \(z\) 轴上的投影 \(p_1 = (0, 0, 4)\)，到 \(xy\) 平面上的投影 \(p_2 = (2, 3, 0)\)，两个投影矩阵 \(P_1\) 和 \(P_2\) 分别为
\(P_1\) 就是选出每个向量的 \(z\) 分量， \(P_2\) 就是选出每个向量的 \(x\) 和 \(y\) 分量。
在这个例子中，\(z\) 轴和 \(xy\) 平面是正交子空间，就像地面和两面墙的交线一样。
除此之外，它们还是正交补的。整个空间的任意向量都可以表示为它们在两个子空间中分量的和。
2. 到一条线上的投影
假设一条过原点的直线方向为 \(a = (a_1, a_2,\cdots, a_m)\)，我们要将点 \(b = (b_1, b_2,\cdots, b_m)\) 投影到这条直线上。
投影 \(p\) 和 \(a\) 在一条直线上，因此有 \(p = \hat xa\)，误差 \(e = b-p = b-\hat xa\)，然后由 \(e\) 垂直于 \(a\)，我们可得。
\[e \cdot a = 0 \to (b-\hat xa) \cdot a = 0 \to a\cdot b - \hat x a\cdot a = 0\]
因此，可求得系数 \(\hat x\) 为
\[\hat x = \frac{a\cdot b}{a\cdot a} = \frac{a^Tb}{a^Ta}\]
投影为 \(p = \hat x a = \frac{a^Tb}{a^Ta} a\)。
如果 \(b=a\)，那么 \(\hat x = 1\)，投影还是它自己，\(Pa = a\)。 如果 \(b\perp a\)，那么 \(\hat x = 0\)，投影为 0。
将投影重写为 \(p = a \hat x =a \frac{a^Tb}{a^Ta} = \frac{aa^T}{a^Ta}b\)。因此，投影矩阵 \(P = \frac{aa^T}{a^Ta}\)。
如果向量 \(a\) 变为两倍，投影矩阵 \(P\) 不变，它还是投影到同一条直线。如果投影矩阵平方，那就是进行两次投影，和进行一次投影是一样的结果，因此有 \(P^2=P\)。
同时，\(I-P\) 也是一个投影矩阵，\((I-P)b = b-p = e\)。当 \(P\) 投影到一个子空间时，\(I-P\) 投影到和它垂直的另一个子空间。
3. 到子空间的投影
假设 \(n\) 个 \(\boldsymbol R^m\) 空间中的向量 \(a_1,\cdots,a_n\) 是线性不相关的，我们想找到一个线性组合 \(p=\hat x_1 a_1+\cdots+\hat x_n a_n\) 使得 \(p\) 距离一个给定向量 \(b\) 最近。
\(a_1,\cdots,a_n\) 可以看做是矩阵 \(A\) 的列，我们要找的线性组合是在矩阵 \(A\) 的列空间中。我们要找的是距离\(b\) 最近的一个组合 \(A\hat x\)，也就是 \(b\) 在列空间的投影。
同理，误差 \(e=b-A\hat x\) 垂直于子空间，也就是垂直于子空间的所有向量。
也即
\[A^T(b-A\hat x) = 0 \to A^TA\hat x = A^Tb\]
\(A^TA\) 是一个 n×n 的矩阵，因为 \(A\) 的列是线性不相关的，所以其是可逆的。可得线性组合系数为
\[\hat x = (A^TA)^{-1}A^Tb \]
所以有，投影和投影矩阵分别为
\[p = A \hat x = A(A^TA)^{-1}A^Tb\]
\[P = A(A^TA)^{-1}A^T\]
由 \(A^T(b-A\hat x) = 0\) 可知，误差 \(e\) 位于 \(A\) 的左零空间 \(N(A^T)\) 中，向量 \(b\) 被分为了投影 \(p\) 和误差 \(e\) 两部分。
\(A^TA\) 是可逆的当且仅当 \(A\) 的列是线性不相关的。
当 \(Ax=0\) 时，我们有 \(A^TAx=0\)。而当 \(A^TAx=0\) 时，我们有
\[x^TA^TAx=0 \to (Ax)^TAx = 0 \to Ax = 0\]
因此 \(A^TA\) 和 \(A\) 有着一样的零空间，当 \(A\) 的列线性不相关时，\(A^TA\) 是一个方阵，对称并且可逆。
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