数独高阶技巧之八——SDC

在本系列的第四篇“简单异数链”中，向大家介绍了XY-Wing等一系列Wing类技巧，并提到可以用（拐弯的）数组的观念来理解这些结构，经过第六篇ALS的学习之后，大家回过头再去看Wing，应该可以发现相关的实例都可以用ALS去解释。本篇则要介绍一种与上述结构类似的删除技巧——SDC（Sue de Coq）。

一、基本形态

Sue de Coq这个命名来自于SDC技巧最早发现者的论坛昵称，更正式的名称应该是Two-Sector Disjoint Subsets（双分离子集删除法），我们先来看SDC的两种基本形态。

图1 SDC-01

图1中，B4和R5深色背景4个待解格中存在且仅存在（A、B、C、D）4个候选数，可将这4个候选数分成红（A、B）、绿（C、D）两个分离子集（红∩绿=?），将4个待解格按其所在单元分为宫B、行R两个子集，红色（A、B）存在于子集B三格中，绿色（C、D）存在于子集R三格中，两个待解格子集存在交集X（交叠区域两格，X=B∩R），X中的候选数为红、绿两个候选数分离子集的并集，若满足这些条件，红、绿两个子集可各自对所在单元其他格内的候选数进行摈除。

为什么可以这样删数呢？以ALS的视角来看原理很简单，将这四格按所在单元分为宫、行两组ALS（每组都是3格4数），此时：

1、若宫行相交区域的A、B都不成立，则R5深色3格中只能填入C、D两个候选数，违反数独规则，故宫行相交区域的A、B必须成立一个，这样就会与R4C1格构成AB数对，进而对AB数对所在的B4进行摈除；

2、若宫行相交区域的C、D都不成立，则B4深色3格中只能填入A、B两个候选数，违反数独规则，故宫行相交区域的C、D必须成立一个，这样就会与R5C5格构成CD数对，进而对CD数对所在的4进行摈除。

我们还可以用数组的视角来进行分析：在深色4格中，存在且仅存在（A、B、C、D）4个不同的候选数，虽然4格不在同一单元，但他们籍由交叠区域联结，并不影响（ABCD）数组的成立（在N格中存在且仅存在N个不同候选数），亦即（A、B、C、D）4个候选数锁定了这4格，只是由于这个数组拐了弯，分处不同单元，其删数方法也不同于正常的数组。在该数组中，仅存在于特定单元的候选数集只能对所在单元其他格进行摈除。

来看第2种基本形态：

图2 SDC-02

与图1示例不同之处在于，相交区域多出了一个候选数E，相应的格数也增加了一格，深色5格存在且仅存在 A、B、C、D、E 5个候选数，我们仍可将这些候选数分为分处宫、行的两个分离子集（AB）与（CDE）或者（ABE）与（CD），并且，宫和行（列）相交区域的三格为两个分离子集的并集，与上例一样，大家可以分别用数组和ALS的视角来理解删数的逻辑，只是本例中由于候选数E仅位于相交区域内（亦即E同时存在于B4、R5两个单元），所以，E可以对B4和R5两个单元进行摈除。

来看实例：

图3 SDC-03

图3盘势中，B7和R7中R7C137、R8C3四格仅含有（3、4、5、9）4个候选数，蓝色候选数（4、5）构成一个子集，紫色候选数（3、9）构成一个子集，两个分离子集相交于R7C13两格，且这两格为两个子集的并集，这4格形成SDC结构，每个子集可对其所在单元其他格内的候选数进行摈除（红色）。

图4 SDC-04

图4则是基本形态2的一个实例，相交区域多出了候选数4，大家可以根据前面的介绍来理解本例的删数，具体过程不再赘述。

二、扩展形态

在基本形态的基础上，组成SDC的各单元待解格每增加一个新的候选数（不同单元可增加相同的候选数），都须相应在该单元增加一个仅含有SDC中候选数的待解格，SDC待解格中的所有候选数可按其所处单元分为若干个子集，每个单元的候选数子集须存在于其所含元素数+1的待解格中，且不同单元的待解格存在交叠区域（格数≧2），交叠区域内的候选数来自这些子集的并集（交叠区域候选数个数≧交叠区域格数+2），每个子集都可对自身所处单元内其他格中的候选数进行摈除。

图5 SDC-05

图5的例子就是基本形态一的扩展，B6和C8中，绿框5格中仅存在候选数（3、5、7、8、9），这些候选数可分为宫（7、8、9）和列（3、5）两个分离子集，每个子集都存在于其所含元素数+1的待解格中，宫列交叠的两绿框格内的候选数（3、5、7、8）来自宫、列两个子集的并集（3、5、7、8、9），宫中的子集（7、8、9）可对B6其他格中的7、8、9进行摈除，列中的子集（3、5）可对C8其他格中的3、5进行摈除。

图6则是基本形态二的扩展，7格7数，大家可以对照定义自己揣摩一下删数的过程。

图6 SDC-06

图7是基本形态一的扩展，特殊之处在于列和宫的待解格中增加了相同的候选数1，依然可以将其分为C7绿框四格（1、4、9），B9绿框四格（1、2、8）两个子集，这两个子集都是3数4格，交叠区域两格候选数为（2、4、8、9），其元素来自于两个子集的并集，可分别删去C7其他格中的1、4、9，B9其他格中的1、2、8。