[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.1

1. 设 $A\in M_n$. 证明若 $AA^*=A^2$, 则 $A^*=A$.

证明: 由 Schur 酉三角化定理, 存在酉阵 $U$, 使得 $$\bex A=U^*BU, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})$ 为上三角阵. 于是 $$\bex U^*BB^*U=AA^*=A^2=U^*B^2U\ra BB^*=B^2. \eex$$ 比较两端的对角元有 $$\bex |b_{ii}|^2 +\cdots +|b_{in}|^2=b_{ii}^2,\quad 1\leq i\leq n. \eex$$ 而 $b_{ii}^2$ 为非负实数, $$\bex b_{ii}^2=|b_{ii}|^2 +\cdots +|b_{in}|^2\geq |b_{ii}|^2 =|b_{ii}^2|=b_{ii}^2. \eex$$ 故 $$\bex b_{ij}=0,\quad i<j,\quad b_{ii}=\pm\sqrt{b_{ii}^2}\in\bbR. \eex$$ 因此, $$\bex A=U^*\diag(b_{11},\cdots,b_{nn})U,\quad b_{ii}\in\bbR. \eex$$ 这即说明 $A^*=A$.

时间： 2024-11-05 08:08:08

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9. (Hopf) 将 $n$ 阶正矩阵 $A=(a_{ij})$ 的特征值按模从大到小排列为 $$\bex \rho(A)>|\lm_2|\geq \cdot \geq |\lm_n|, \eex$$ 并记 $$\bex \al=\max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}, \quad \beta=\min \max\sed{a_{ij};1\leq i,j\leq n}. \eex$$ 则 $$\bex \frac{|\lm_2|}{\rho(A)}\leq \frac

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[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.15

15. 设 $S_n[a,b]$ 表示所有元素属于给定的区间 $[a,b]$ 的 $n$ 阶实对称矩阵的集合. 对于 $j=1,n$ 确定 $$\bex \max\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}\mbox{ 和 } \min\sed{\lm_j(A);\ A\in S_n[a,b]}, \eex$$ 以及分别取到最大值和最小值的矩阵. 解答: 对 $0\neq x\in\bbR^n$, $$\beex \bea &\quad x^TAx\\ &=x^TP^T (

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14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变? 解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ 置换算子 $f$

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9. 记 $\dps{m=\sex{n\atop k}}$. 复合矩阵映射 $C_k(\cdot): M_n\to M_m$ 是单射吗? 是满射吗? 解答: 当 $k=1$ 时, $C_k(A)$ 就是 $A$ 的每个元素. 故 $C_k$ 是单射也是满射. 当 $k\geq 2$ 时, 一般地, $C_k$ 不是单射, 比如 $$\bex \sex{\ba{cccc} 1&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vd

[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题2.8

8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素? 解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素 $\lra$ $A$ 的任一 $r\times s$ 阶子矩阵非零, $r+s=n+k+1$. 于是 $A$ 的每条对角线恰含有 $k$ 个零

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1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$? 解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\     \vdots&\ddots&\vdots\\     a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B     \ea}.     \eex$$     要使 $A\otimes B=I$, 当且仅当

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