NYOJ 116士兵杀敌(二) 树状数组

士兵杀敌(一) 数组是固定的，所以可以用一个sum数组来保存每个元素的和就行，但是不能每次都加，因为那样会超时，查询次数太多。但是这个士兵杀敌(二)就不能用那个方法来解了，因为这个是动态的，中间元素的值可能会变化，所以引出一个新的东西来。刚开始想了一下，实在是没有想到方法，就去讨论区看了看，一看好像都说用树状数组，就去找树状数组的用法。

先上图，看着图解释容易理解点。

数组A是原数组中的元素，数组C是树状数组中的元素，图中C数组的元素组成为A中的某些元素之和，这些元素的个数取决于它的下标能被多少个2整除，像C[1] = A[1]; C[2] = A[1] + A[2]; C[3] = A[3]; C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + [4] = C[2] + C[3]; ……这些个数可以写一个通式C[i] = A[n - 2^k + 1] + ……+A[i]; 其中k为 i 的二进制中从右往左数的 0 的个数 ，就像6有一个， 6可以写成 2 × 3， 所以C[6] = A[5] + A[6]; 所以可以定义一个函数来求这个数.

6的二进制为0110

5的二进制为0101

6^5 = 0011

6&(6^5) = 0010 = 十进制中的2

所以函数可以这么写

int lowbit(int N)//求n中有多少个能被2的多少次幂整除的，即2^k， 也就是树状数组的作用域
{
    return N & (N ^ (N - 1));
}

也可以写成

int lowbit(int N)//求n中有多少个能被2的多少次幂整除的，即2^k， 也就是树状数组的作用域
{
    return N & (-N);
}

更改一个数的值， 就要更改次数在树状数组中的所有祖先，不过这个时间复杂度是O(logn); 下面是更改值(添加杀敌数)的函数

void add(int pos, int num)//添加新值到树状数组中
{
    while(pos <= n)
    {
        tmp[pos] += num;
        pos += lowbit(pos);
    }
}

下面就是求和函数， 因为这种方法之所以快，是求他的最小树根节点的和， 最小树的个数为当前要求的n的二进制中为1的个数，即展开式中能写成不同2的幂指数的项数，

例如: 15 = 2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0; 所以n = 15时， 最小数有四个，求和的时间复杂度为O(logn);

int Sum(int N)//求前N个数的和
{
    int sum = 0;
    while(N > 0)
    {
        sum += tmp[N];
        N -= lowbit(N);
    }
    return sum;
}

关键就是这三步， 这三步搞明白了，基本上就不成问题了，但是，当时按照 杀敌(一) 中的思维，还统计了一个总数，那样不会快，反而会慢，所以直接求就行，下面是完整的代码

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3
 4 int tmp[1001000];
 5 int n, k;
 6
 7 int lowbit(int N)//求n中有多少个能被2的多少次幂整除的，即2^k， 也就是树状数组的作用域
 8 {
 9     return N & (-N);
10 }
11
12 void add(int pos, int num)//添加新值到树状数组中
13 {
14     while(pos <= n)
15     {
16         tmp[pos] += num;
17         pos += lowbit(pos);
18     }
19 }
20
21 int Sum(int N)//求前N个数的和
22 {
23     int sum = 0;
24     while(N > 0)
25     {
26         sum += tmp[N];
27         N -= lowbit(N);
28     }
29     return sum;
30 }
31
32 int main()
33 {
34     int a, b, temp;
35     char str[10];
36     scanf("%d %d", &n, &k);
37     for(int i = 1; i <= n; i++)
38     {
39         scanf("%d", &temp);
40         add(i, temp);
41     }
42     for(int i = 0; i < k; i++)
43     {
44         scanf("%s %d %d", str, &a, &b);
45         if(strcmp(str, "QUERY") == 0)
46             printf("%d\n", Sum(b) - Sum(a - 1));
47         else
48             add(a, b);
49     }
50
51     return 0;
52 }