Description
Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。
Input
第1行4个整数，N,M,S,T
第[2, M+1]行每行两个整数o1, o2，表示有一条从o1到o2的边。
Output
一个浮点数，保留小数点3位，为步数的期望值。若期望值为无穷大，则输出"INF"。
Sample Input
9 12 1 9
1 2
2 3
3 1
3 4
3 7
4 5
5 6
6 4
6 7
7 8
8 9
9 7
Sample Output
9.500
HINT
n<=10000,m<=1000000,保证每个强连通分量大小不超过100
题解
本题真的是无法描述啊......
这个高斯消元搞了我一晚上
正解其实想出来了但是就是不会打
既然题目都提示强连通分量了，肯定要跑个tarjan缩点呀
但是，经过一个强连通分量不一定就会INF,因为毕竟一次走不出去还有机会再次走出去
容易发现，INF的条件是“起点终点不连通”或“起点可以到达某个点，该点却不能到达终点”
上述INF情况可以跑正向+逆向dfs来判断
在不INF时,对于每个点，设f[i]为从i点到终点的期望步数,设du[i]为i点出度,f的方程容易想出来:
f[i]=1+sigma(f[j],i与j有边联通)/du[i]
(除了终点T,到了终点之后就不用再走了,因此f[T]=0,终点的出边也可以直接删除)
每个点的f长得和方程一样,那么我们就考虑解方程组:高斯消元
可我们发现数据范围太大(n<=10000)没办法消元
我们发现,题目提示强连通分量大小不超过100,100的范围是可以做的
因此我们考虑按照拓扑序逆序对每一个强连通分量进行高斯消元;
如果按照拓扑序逆序的话,计算某个连通块时,他会涉及到的出点都已经计算完了,所以这样是正确的
代码见下
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<queue>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 #include<vector>
7 using namespace std;
8 const int N=10100;
9 const int M=1000100;
10 struct node{int qi,zhong,next;}s[M],z[M],t[M];
11 bool vis[N],t_vis[N],z_vis[N];
12 int e,z_e,t_e,adj[N],z_adj[N],t_adj[N];//s最早的图,z缩点后正图,t缩点后反图
13 int n,m,S,T,id[N],chudu[N];//id为某个点在所属连通块
14 vector<int>man[N];
15 int dfn[N],low[N],stack[N],top,num,belong[N],tot;//tarjan相关的数组
16 double A[210][210],f[N];//A为高斯消元,f为dp数组
17 inline void add(int qi,int zhong)
18 {
19 s[++e].zhong=zhong;s[e].qi=qi;
20 s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;
21 }
22 inline void z_add(int qi,int zhong)
23 {
24 z[++z_e].zhong=zhong;z[z_e].qi=qi;
25 z[z_e].next=z_adj[qi];z_adj[qi]=z_e;
26 }
27 inline void t_add(int qi,int zhong)
28 {
29 t[++t_e].zhong=zhong;t[t_e].qi=qi;
30 t[t_e].next=t_adj[qi];t_adj[qi]=t_e;
31 }
32 void tarjan(int rt)
33 {
34 dfn[rt]=low[rt]=++num;
35 stack[++top]=rt;vis[rt]=1;
36 for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next)
37 {
38 int u=s[i].zhong;
39 if(!dfn[u])tarjan(u),low[rt]=min(low[u],low[rt]);
40 else if(!id[u])low[rt]=min(dfn[u],low[rt]);
41 }
42 if(dfn[rt]==low[rt])
43 {
44 int v,ge=0;tot++;
45 do
46 {
47 v=stack[top--];id[v]=++ge;
48 belong[v]=tot;man[tot].push_back(v);
49 }
50 while(v!=rt);
51 }
52 }
53 void dfs1(int rt)
54 {
55 z_vis[rt]=1;
56 for(int i=z_adj[rt];i;i=z[i].next)
57 if(!z_vis[z[i].zhong])dfs1(z[i].zhong);
58 }
59 void dfs2(int rt)
60 {
61 t_vis[rt]=1;
62 for(int i=t_adj[rt];i;i=t[i].next)
63 if(!t_vis[t[i].zhong])dfs2(t[i].zhong);
64 }
65 inline bool judge()//正反dfs判断INF
66 {
67 dfs1(belong[S]);dfs2(belong[T]);
68 for(int i=1;i<=n;i++)
69 if(z_vis[i]&&!t_vis[i])
70 return 0;
71 return 1;
72 }
73 inline void gasse(int b)//高斯消元
74 {
75
76 if(b==belong[T]){f[T]=0;return;}
77 int size=man[b].size();
78 memset(A,0,sizeof(A));
79 for(int i=0;i<size;i++)
80 {
81 int p=man[b][i];
82 A[i][size]=chudu[p];//我统一把出度给乘上去了,没有写分数的形式
83 for(int j=adj[p];j;j=s[j].next)
84 {
85 int u=s[j].zhong;
86 if(belong[u]==b)//统计连通块自己的系数
87 A[i][id[u]-1]--;
88 else if(u!=T)//统计之前的贡献
89 A[i][size]+=f[u];
90 }
91 A[i][i]+=chudu[p];
92 }
93 for(int i=0;i<size;i++)
94 {
95 int p=i;
96 for(int j=i+1;j<size;j++)
97 if(fabs(A[p][i])<fabs(A[j][i]))p=j;
98 if(p!=i)
99 for(int j=0;j<=size;j++)
100 swap(A[p][j],A[i][j]);
101 for(int j=i+1;j<size;j++)
102 {
103 double tmp=A[j][i]/A[i][i];
104 for(int k=i;k<=size;k++)
105 A[j][k]-=tmp*A[i][k];
106 }
107 }
108 for(int i=size-1;i>=0;i--)
109 {
110 for(int j=i+1;j<size;j++)
111 A[i][size]-=A[j][size]*A[i][j];
112 A[i][size]/=A[i][i];
113 }
114 for(int i=0;i<size;i++)
115 f[man[b][i]]=A[i][size];
116 }
117 void solve(int rt)
118 {
119 for(int i=z_adj[rt];i;i=z[i].next)
120 if(!vis[z[i].zhong])
121 solve(z[i].zhong);
122 vis[rt]=1;
123 gasse(rt);
124 }
125 int main()
126 {
127 scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);int a,b;
128 if(S==T){printf("0.000");return 0;}
129 for(int i=1;i<=m;i++)
130 {
131 scanf("%d%d",&a,&b);
132 if(a==T)continue;
133 chudu[a]++,add(a,b);
134 }
135 for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])tarjan(i);
136 for(int i=1;i<=n;i++)
137 {
138 for(int j=adj[i];j;j=s[j].next)
139 {
140 int u=s[j].zhong;
141 if(belong[i]!=belong[u])
142 {
143 z_add(belong[i],belong[u]);
144 t_add(belong[u],belong[i]);
145 }
146 }
147 }
148 if(judge())
149 {
150 memset(vis,0,sizeof(vis));
151 solve(belong[S]);
152 printf("%.3lf",f[S]);
153 }
154 else{printf("INF");return 0;}
155 }
BZOJ2707
时间： 2024-10-18 19:48:44