时间；2014.05.15
地点：基地二楼
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一、背景
著名的斐波那契数列为一个这样的序列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34......简单的递推公式如下：
F(0)=0，F(1)=1，当n>=1时，F(n)=F(n-1)+F(n-2)
显然，我们用直接的按公式递归的算法去计算该数列的第n项效率并不高，因为这样每次递归调用我们只是将规规模缩小了一点点，我们常用的递归都是将规模减半吧~，所以在这里这么用递归并不高效，我是终于又看到一个O(log)的算法了，还一个是二分查找，时间复杂度为O(logn)的算法并不多见，通过合理的算法设计，能将一个复杂的算法降到对数时间，真是神奇。在这里我将用到的是快速幂的思想。
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二、快速幂算法
前面有文章已经介绍过快速幂，通过求数幂来说明，比如求数7的5次方，我们知道5用二进制表示为101，于是我们按101这个序列从右至左，每次用7去乘当前7的幂，若是碰到1，还将当前得到的值与当前7的幂相乘。比如在这里7的5次方7(5)=7(1)*7(4)。计算过程为这样，从最右边开始，我们首先碰到1，于是将当前目标值为7(1)，当前幂值平方为7(2)，接下来碰到一个0，于是当前目标值不变，幂值 平方得7(4)，再接下来碰到1，于是将当前目标值7(1)与当前幂值7(4)相乘，得新的目标值7(5)，当前幂平方得7(8)。再接下来都是0了，就无需继续了，这可以通过将幂5的二进制形式不断右移实现。比如在这里，我们的斐波那契矩阵求法是基于等式：
| F(n-1) F(n) | | 0 1 | (n)
| | = | | =B^n
| F(n) F(N+1) | | 1 1 |
那么我们这里即就是计算矩阵B的n次方而已，这个算法的伪代码如下：
long long CaculateFibonacci(size_t n)
{
初始化目标矩阵为单位矩阵A，这里恰好对应F(0)=0
初始化基矩阵为B的形式
为了在计算矩阵乘法过程中保持原矩阵我们还需设定4个临时变量
while(只要当前n非0)
{
if(当前n的最低位为1)
{
将目标矩阵A与当前基矩阵相乘
}
在每次循环中均将当前基矩阵平方处理，于是可得到A^2 A^4 A^8 A^16等
将n右移一位
}
}
三、代码实现如下：
#include<iostream>
#include<cassert>
using namespace std;
long long CaculateFibonacci(size_t n)
{
//Precondition:
//Postcondition:
assert(n >= 0);
long long ans_arr[2][2] = { 1, 0, 0, 1 };
long long base_arr[2][2] = { 0, 1, 1, 1 };
long long temp00 = 0, temp01 = 0, temp10 = 0,temp11 = 0;
while (n)
{
if (n & 1) //当前最低位为1,将目标矩阵与当前基矩阵对应的幂阵相乘
{
temp00 = ans_arr[0][0], temp01 = ans_arr[0][1], temp10 = ans_arr[1][0], temp11 = ans_arr[1][1];
ans_arr[0][0] = temp00 * base_arr[0][0] + temp01 * base_arr[1][0];
ans_arr[0][1] = temp00 * base_arr[0][1] + temp01 * base_arr[1][1];
ans_arr[1][0] = temp10 * base_arr[0][0] + temp11 * base_arr[1][0];
ans_arr[1][1] = temp10 * base_arr[0][1] + temp11 * base_arr[1][1];
}
//从基矩阵计算当前相应的幂阵
temp00 = base_arr[0][0], temp01 = base_arr[0][1], temp10 = base_arr[1][0], temp11 = base_arr[1][1];
base_arr[0][0] = temp00 * temp00 + temp01 * temp10;
base_arr[0][1] = temp00 * temp01 + temp01 * temp11;
base_arr[1][0] = temp10 * temp00 + temp11 * temp10;
base_arr[1][1] = temp10 * temp01 + temp11 * temp11;
n >>= 1;
}
return ans_arr[0][1];
}
int main()
{
cout << "Input n: " << endl;
int n = 0;
cin >> n;
long long a = CaculateFibonacci(n);
cout <<"The result is: "<< a << endl;
}