hdu 5407 CRB and Candies（组合数+最小公倍数+素数表+逆元）暨2015暑期多校赛第10场

题意：

输入n，求c（n，0）到c（n，n）的所有组合数的最小公倍数。

输入：

首行输入整数t，表示共有t组测试样例。

每组测试样例包含一个正整数n（1<=n<=1e6）。

输出：

输出结果（mod 1e9+7）。

感觉蛮变态的，从比赛开始我就是写的这道题，比赛结束还是没写出来……

期间找到了逆元，最小公倍数，组合数的各种公式，但是爆了一下午tle。

比赛结束，题解告诉我，公式秒杀法……

但是公式看不懂，幸好有群巨解说，所以有些听懂了，但还是需要继续思考才能弄懂。

题解：

设ans[i]表示i的所有组合数的最小公倍数。

设f[i]表示从1到i的正整数的最小公倍数。

然后获得从f[i]到ans[i]的公式——ans[i] = f[i+1]/i。                anss[i-1] = (f[i]*inv[i])%Mod;

然后获得求f[i]的公式——

　　if(i == p^k) f[i] = f[i-1]*p;

　　else f[i] = f[i-1];

接下来需要做的就是找到那些i == p^k了。

解题步骤：

1. 打素数表；

2. 由素数表寻找i == p^k；

3. f[1] = 1，打f[]数组表和ans[]数组表；

4. 输入数据；

5. 根据输入数据和ans[]表输出答案。

我认为还有其他方法，因为ac的程序的运行时间从15ms到900+ms都有。更多方法持续寻找中。

我的（根据题解的）代码——

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cmath>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6
 7 #define LL long long
 8 const int N = 1000010;
 9 const int Mod = 1000000007;
10
11 int n, t;
12 LL ans, mid;
13 LL inv[N];
14 LL anss[N];
15 bool su2[N];
16 int su[N], su1[N];
17 LL f[N];                                                    //f[i]表示1~i的最小公倍数
18
19
20 void table()
21 {
22     inv[1] = 1;
23     for(int i = 2; i < N; i++)                              //求i的逆元
24     {
25         inv[i] = inv[Mod%i]*(Mod-Mod/i) % Mod;
26     }
27
28     memset(su2, 1, sizeof(su2));
29     memset(su1, 0, sizeof(su1));
30     su2[0] = su2[1] = 0;                                    //求N以内的素数
31     su2[2] = 1;
32     for(int i = 3; i < N; i++) su2[i] = i%2 == 0 ? 0 : 1;
33     for(int i = 3; i <= sqrt(N*1.0); i++)
34     {
35         if(su2[i])
36         {
37             for(int j = i*i; j <= N; j += 2*i)
38             {
39                 su2[j] = 0;
40             }
41         }
42     }
43     int k = 0;
44     for(int i = 0; i < N; i++)                              //打N以内的素数表
45     {
46         if(su2[i] == 1) su[k++] = i;
47     }
48     for(int i = 0; i < k; i++)                              //寻找满足p^k的数，其中p为素数，k为正整数
49     {
50         LL mid = su[i];
51         while(mid < N)
52         {
53             su1[mid] = su[i];
54             mid *= su[i];
55         }
56     }
57     f[1] = 1;                                               //打N以内的1~i的最小公倍数表
58     for(int i = 2; i < N; i++)
59     {
60         if(su1[i]) f[i] = f[i-1]*su1[i];
61         else f[i] = f[i-1];
62         f[i] %= Mod;
63         anss[i-1] = (f[i]*inv[i])%Mod;                      //答案表
64     }
65 }
66
67 int main()
68 {
69     //freopen("test.in", "r", stdin);
70     //freopen("test.out", "r", stdout);
71     table();
72     scanf("%d", &t);
73     while(t--)
74     {
75         scanf("%d", &n);
76         printf("%I64d\n", anss[n]);
77     }
78     return 0;
79 }