可以回顾一下第一章，lambda 演算起源于上世纪 30 年代的数学理论，如今，它是计算机科学理论的重要组成部分。在逻辑上证明及验证系统的辅助工具 （例如，CPU 设计），还是简单形式编程语言，可以准确地解释其他语言的行为。
注意
在下一节，会看到几个用 lambda 演算写的示例“程序”，能以最纯洁和最干净的形式展示很多概念，在本章后面会看到。在 lambda 演算中，整个的“程序”就是一个表达式（2.2.4 节），函数可以将其他函数作为参数（2.3.2 节）。在讨论编程语言之后，我们还要回到这些概念。
我们已经包括了这个背景材料，它能以最纯净的形式说明一些概念。希望你会发现它像我们做的一样有趣，但对于理解本书的其余部分，这并不是必需的。
当 Alonzo Church 在 1932 年引入了 lambda 演算时，他试图把每个数学构造形式化，用最基本的数学概念，函数。写一个数学函数（称为 f），把任意给定参数加上 10，可以写成：
f(x) = x + 10
Church 想在所有的地方都使用函数。事实上，在他的形式化中，一切都是函数。为每个函数起个名字，是不切实际的，因为当一切都写成函数时，许多函数可能只用一次，为此，他引入了一个符号，使写出的函数不需要名字：
(λx.x + 10)
这个表达式表示一个函数，它只有一个参数，用希腊字母 lambda 加变量名（这里是 x）表示；参数声明后面加一个点，再加函数体（这里是 x + 10）。在纯 lambda 演算中，数字（例如 10）、数学运算符（例如 +）都用函数定义，所以，除掉函数，就什么也没有了，这个定义很令人吃惊吧。为使事情简单，我们将使用标准的数字和运算符。继续我们的示例函数，假设我们要把 32 作为参数，结果将是：
(λx.x + 10) 32 = 32 + 10 = 42
为函数提供参数（在 lambda 演算中，称为函数的应用，application），把参数写在函数的后面。当用参数值调用函数时，只是简单地用参数的值（这里 32），替换所有的变量（这里 x）的位置就行了。这就是第一个等号后的表达式。如果我们把 + 看作是内置函数，它将在下一步被调用，产生结果 42。
lambda 演算最有意义的，也是函数编程语言的基石，就是任何函数都可以取函数作为参数。这就是说，我们可以写一个函数，取一个函数（二元运算符）和一个值作为参数，再用这个值作为两个参数，调用这个二元运算符：
(λop.λx.(op x x))
正如你所看到的，我们写的函数，把 op 和 x 作为参数。当函数有多个参数时，用多个 lambda 符号声明更多的参数。在 lambda 函数体中，用 op 来表示函数，用 x 表示给 op 函数提供的第一和第二个参数。如果我们把加法运算符作为第一个参数，21 作为第二个参数，代码可以这样写：
(λop.λx.(op x x)) (+) 21 = (λx.((+) x x)) 21 = (+) 21 21 = 42
有多个参数的函数，函数取第一个参数（这里 op），返回 lambda 表达式，这就成了另一个函数。这样，在第一步，我们应用函数（取 op 作为参数）为参数 (+)，它产生的结果在第一个等号的后面，op 变量替换为加号（(+)）。这个结果仍是带参数的函数，因此，可以继续这个过程。下一步应用函数时，把 21 作为参数 x 的值代入。结果是表达式 (+) 21 21，这是两个数字加法的另一种表示，与 21 + 21 的意思相同，因此，最后的计算结果是 42。正如你所看到的，在 lambda 演算中，计算一直继续，直到没有可计算的函数应用（函数后面有它的参数）为止。
从理论上来看，函数式思想来自 Lambda 演算，但现在我们要把注意力转回现实世界。我们要讨论的第一组概念，是有关在函数程序中的数据表示，这些概念对程序处理数据有重大影响。
2.1 函数编程的基础