3.1 顶与底
一. 定义
整数是离散数学的支柱.
我们很多时候, 都要将分数转化为整数.
为此, 我们定义了两个整值函数: 顶, 底.
$\lceil x\rceil$ 表示 $\ge x$ 的最小整数, 读作 " $x$ 的顶 " .
$\lfloor x\rfloor$ 表示 $\le x$ 的最大整数, 读作 " $x$ 的底 " .
从多个角度定义一个概念, 这样有利于对概念的理解和应用.
我们尝试从几何上解释它.
给定一条自下而上的数轴.
$\lceil x\rceil$ 就是从 $x$ 点出发, 向上扫描找到的第一个整点.
$\lfloor x\rfloor$ 就是从 $x$ 点出发, 向下扫描找到的第一个整点.
几何上还有第二个解释, 我们尝试建立平面直角坐标系.
二. 性质与应用
我们要弄清整值函数的性质, 并用一些简单的例子加以理解, 进而有更深远的应用.
出于应用的目的, 一些过于简单或无用的探究结果不予以显示.
性质1
$\lceil x\rceil = x\Leftrightarrow x为整数 \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor = x$ .
性质2
$\lceil x\rceil - \lfloor x\rfloor = [x不为整数]$ .
这是一个机智的命题, 给定了 $\lceil x\rceil$ 与 $\lfloor x\rfloor$ 之间的一个关系.
性质3
$x-1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x+1$ .
性质4
$\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil$ .
$\lceil -x\rceil = -\lfloor x\rfloor$ .
性质5 整值函数等于整数 n 的等价条件
$\lfloor x\rfloor = n \Leftrightarrow n\le x<n+1 \Leftrightarrow x-1<n\le x$
$\lceil x\rceil = n\Leftrightarrow n-1<x\le n \Leftrightarrow x\le n<x+1$
性质6 整值函数与整数 n 的不等关系的等价条件
左闭右开, 顶函数: $a\le x<b \Leftrightarrow \lceil a\rceil \le x < \lceil b \rceil$ .
左开右闭, 底函数: $a < x\le b \Leftrightarrow \lfloor a\rfloor < x \le \lfloor b\rfloor$ .
通常配套使用的还有结论: $a < n \Leftrightarrow a+1\le n$ .
于是, $\lfloor a\rfloor \le x \Leftrightarrow \lfloor a \rfloor < x+1\Leftrightarrow a < x+1$ .