[北京集训测试赛(三)]灯(Light)-奇怪乱搞数学题-素数

Problem 灯

题目大意

n盏灯排成一列，标号一到n，一开始标号为1的灯亮着。

现在依次对于2~n的每一个质数pi，指定一盏亮着的灯ai，点亮所有标号为$A[i]\pm kP_i$的灯。

有spj，任意一种方案即可。

输入一个整数n，输出点灯方案。

Solution

首先写个暴力，考虑一下小范围的数据。

我们发现$n<16$的时候没有完美解，都是n-1。再算下去，发现$n>16$的时候任意一组都有完美解。

我们分析一下这个玩意儿。

把一到n的灯集体下标前移1，变成0~n-1。这时候当我们点亮第一盏灯，所有偶数都被点亮了。

接下来我们从前面的打表知道，如果所有灯都在1点亮，那么只有2不会亮。前移了以后就是只有1不会亮。

这时候我们要想一下怎么点亮这个一。

现在若找到两个质数$P_i<P_j$，使得$P_i^2>=n\&P_i+P_j<n\&P_j=kP_i+1$

一开始绝对已经点亮了pi+1，因为其是偶数。

在pj位置时选择pi+pj标号的即可。

证明：

所有不为$P_i^{A_i}*P_j^{A_j}$的标号一定被点亮过。

因为$P_i^2>n$，所以受影响的标号只有1,pi,pj.

其中，因为$P_j=kP_i+1$

1在pi时被点亮，pi在pj时被点亮，pj在pi时被点亮。

至此，我们搞定了1且没有影响到其它。

这种方法对于n不为26..34时有效，这一些就暴力手算好了，不难。

对于小于16的情况进行特判即可。

AC Code

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 using namespace std;
 6 const int cheat[11][15]={
 7 {0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
 8 {0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
 9 {0,1,1,4,5,7,7,25,25,25},
10 {0,1,1,4,5,7,7,19,27,29,29},
11 {0,1,1,7,13,2,1,1,27,3,1},
12 {0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
13 {0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
14 {0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1},
15 {0,1,1,1,4,13,1,3,31,31,1,1}
16 };
17 int n,p[1000010],tot=0;
18 bool np[1000010];
19 int main(){
20     scanf("%d",&n);
21     for(int i=2;i<=n;i++)
22         if(!np[i]){
23             p[++tot]=i;np[i]=1;
24             if((long long)i*i<=n)
25                 for(int j=i*i;j<=n;j+=i)np[j]=1;
26         }
27     printf("%d %d\n",tot,(n<=16)?n-1:n);
28     if(n<=16)
29         for(int i=1;i<=tot;i++)printf("1\n");
30     else if(n>=26&&n<=34)
31         for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d\n",cheat[n-26][i]);
32     else{
33         int t=1,x=0,y=0;
34         while(p[t]*p[t]<n)t++;
35         for(int i=t;i<=tot;i++){
36             for(int j=i+1;p[i]+p[j]<n;j++)
37                 if(p[j]%p[i]==1){
38                     x=i;y=j;
39                     break;
40                 }
41             if(x||y)break;
42         }
43         for(int i=1;i<=tot;i++){
44             if(i==x)printf("%d\n",p[i]+2);
45             else if(i==y)printf("%d\n",p[i]+p[x]+1);
46             else printf("1\n");
47         }
48     }
49     return 0;
50 }