二分算法入门——二分查找

　　二分查找，无论是从名字还是理论都十分简单一个算法，其博大精深，简直恐怖。Jon Bentley：90%以上的程序员无法正确无误的写出二分查找代码。

　　别人不知道，反正我早上是写了好久，这个查找算法，将查找的复杂度从 o( n ) 降到了 o( logn ) ，当之无愧的的好算法，更是许多高级算法的优化策略之一。

　　二分查找之基本思路

　　虽然二分查找是一个很吊的算法，但是跟很多算法一样，需要使用的基础条件——序列有序！

　　先假设一个单调非增序列：1 2 3 4 5 6 ，求找到3的位置，地球人都会马上这么想——一个一个找咯，可是这样很慢！

　　于是有人想要加快查找速度，他们发现如果从中间开始找，那么每次比较后就至少可以排除一半的数，这就是二分查找的基本思想——折半。

　　1）设置三个指针变量（应该说是指针性质的变量，索引也是可以的）——low ，mid 和 high，并且满足 mid = ( low + high ) / 2；

　　2）设置循环，进行target值与mid存储值的比较，根据比较结果更新low或者high；

　　3）在 2）中，若出现找到target的情况，则返回mid指针；如果一直找不到，则返回空指针。

　　下面是代码：

//方法一int binary_search(int n, int v)
{
    int low=0,high=n-1,mid;
    while (low<=high)
    {
        mid=(low+high)/2;
        if (a[mid]==v)
            return mid;
        if (a[mid]<v)
            low=mid+1;
        if (a[mid]>v)
            high=mid-1;
    }
    return -1;
}

　　看起来好像没什么问题，实际上在一些情况下 ，答案会很奇怪：1 2 2 4 5，我们如果找2，答案 -> 2 （这是索引啊！）　　

　　那么问题来了，为什么是返回第二个，而不是第一个呢？其实很简单，当序列出现重复元素时，我们找到了当然是其中“任意”一个啦！

　　但是其实往往我们需要处理的序列总是拥有重复元素的，所以，我们需要优化！

　　我们先来分析原来的二分查找 —— left < mid <right ，即我们将“=”的情况全部交给mid处理，于是mid会给你各种答案：

　　所以，我们不妨按这种规则来二分 —— left <= mid < right ！

　　我们可以看看代码：

//方法二：返回第一个位置int lowerBound(const int a[],const int size,const int target)
{
    int low=0,high=size-1,mid;
    while(low<high)
    {
        mid=(low+high)/2;
        if(a[mid]<target)
            low=mid+1;
        else high=mid;
    }
    if(a[low]==target) return low;
    else return -1;
}   

　　这里我们会发现两种查找方式一个最明显的不同：方法一是找到答案立即返回，方法二则是一直找到最底部（当成树看）然后再返回！感觉方法二要一

　　直找到底部好像会很慢，但是事实证明：方法一才是最慢的，所以我们以后可以抛弃第一种写法啦！

　　当然，方法二是返回第一个位置，那么就会有返回最后一个位置的算法啦！

　　上代码：

//方法三：返回最后一个位置int upperBound(const int a[], const int size, const int target)
{
    int low=0,high=size-1,mid;
    while(low<high)
    {
        mid=(low+high)/2+1;
        if(a[mid]>target)
            high=mid-1;
        else low=mid;
    }
    if(a[high]==target) return high;
    else return -1;
}

　　以上就是我们的二分查找算法，参考资料：数据结构与程序设计——C++语言描述（这真是一本好书！）