01背包问题的动态规划算法

01背包问题我最初学会的解法是回溯法，第一反应并不是用动态规划算法去解答。原因是学习动态规划算法的时候，矩阵连乘、最长公共子串等问题很容易将问题离散化成规模不同的子问题，比较好理解，而对于01背包问题则不容易想到将背包容量离散化抽象出子问题，从情感上先入为主也误以为动态规划算法不是解决01背包问题的好方法，实际上并不是这样的。另外，动态规划算法不对子问题进行重复计算，但是要自底向上将所有子问题都计算一遍，直到计算出最终问题的结果也就是我们要的答案，有点像爬山的感觉。

问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C，求能装入背包的物品的最大价值。
用m(i,j)表示为从i到n的物品装入容量为j的背包能产生的最大价值，则能装入背包的物品最大价值为m(1,C)。
递归式为：

上面讲到，该问题是对背包的容量进行离散化，因此时间复杂度是O(nC)。

代码如下（用的变量名可能和上面有小出入，但是是自描述的）：

#include<iostream>
using namespace std;

struct CARGO{
    int weight;
    int value;
};

const int totalWeight=10;
const int totalNumber=5;
CARGO goods[totalNumber]={{2,6},{2,3},{6,5},{5,4},{4,6}};

//1.使用时下标都从1开始；2.遇到复杂结构的初始化用memset方法。
int result[totalNumber+1][totalWeight+1]={0};

int myMax(int i,int j)
{
    return i>=j?i:j;
}

void dp()
{
    int i,j;

    //动态规划表达式的初始化
    i=totalNumber;
    for(j=1;j<=totalWeight;j++)
    {
        if(goods[i-1].weight>j)//为保证逻辑完整性，这个if没删掉
        {
            result[i][j]=0;
        }
        else
        {
            result[i][j]=goods[i-1].value;
        }
    }

    for(i=totalNumber-1;i>0;i--)
    {
        for(j=1;j<=totalWeight;j++)
        {
            if(goods[i-1].weight>j)
            {
                result[i][j]=result[i+1][j];
            }
            else
            {
                result[i][j]=myMax(result[i+1][j],result[i+1][j-goods[i-1].weight]+goods[i-1].value);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    dp();
    cout<<result[1][totalWeight]<<endl;

    //是否理解：完成用result[totalNumber][totalWeight]表示背包最大value的代码（从前往后解决子问题的方法）。

    return 0;
}