Ш函数的三个性质

上节课我们学习了$Ш_p$函数，其定义如下

$Ш_p = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-kp) }$

$Ш_p$函数有以下三个性质，

1) 采样性质，继承了$\delta$函数的采样性质

$f(x)Ш_p(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(kp)\delta(x-kp) }$

2) 周期性质，继承了$\delta$函数的移位性质

$(f*Ш_p)(x) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x-kp) }$

3) 傅里叶变换

$\mathcal{F}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$

$\mathcal{F}^{-1}Ш_p = \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}$

$Ш_p$函数的这三个性质，是本节课后面推导的基础。

内插问题

内插问题是我们接下来要解决的问题，我们需要用可靠的方法对离散的测量或采样值进行内插，通过内插，我们能得到被采样信号的所有的值。（The problem here is and what we‘re actually gonna solve in a quite remarkable way is the exact interplation of value of a function from a discrete set of measurement or a discrete set of samples. We‘ll be able to interpolate all values of a signal or a function from a discrete set of samples.）

假设有一个随时间变化的过程，以相等的时间间隔（如几分之一秒）对该过程进行测量，得到一组测量数据$(t_0,y_0),(t_1,y_1),(t_2,y_2)$等等，我们可以把这些数据当成一系列的点

我们可以用曲线来拟合到采样数据上（fit a curve to the data），或者根据测量数据在中点进行内插（interpolate values of the process at the intermediate points based on the measurements）。

曲线拟合与内插

1) 曲线拟合是根据采样数据得出一个曲线函数，该函数上的值作为原信号的近似值。

2) 内插是通过公式的代入，求出两采样点中间点的具体数值。内插不一定是线性的，具体数值要根据内插公式来确定。

两者虽然方法不同，但是目的都是为了从有限的采样点得到原始信号。

要求被采样点以外的点数值，这并没有固定的方法，需要根据实际情况来选择合适的方法。当然，更多的测量值，可以提供更高的曲线拟合度或更准确的内插。

采样点间的不确定性

内插与拟合的不确定性，从极端来看，可以看作振荡，即函数从一个点到另一个点的变化有多快。函数拐弯越频繁，曲线拟合或者内插的不确定性越大，我们需要了解、控制（regulate）这种不确定性。

我们对于信号会从时域，频域两个方面去分析，而在频域的傅里叶变换反映了信号的频率成分，我们能借此分析函数振荡的快慢。傅里叶变换的高频与快速振荡相关，傅里叶变换的低频与低速振荡相关。我们要了解信号的振荡速度，就要对其傅里叶变换进行分析。

解决这种不确定性的方法是：规定函数允许振荡的最高频率。如果我们在傅里叶变换后把高频去掉，则相当于把快速振荡去除。

解决方法可以总结为以下定义：

对于一个有限带宽的函数f(x)，如果它的傅里叶变换在某频带以外的值恒为零，就是说傅里叶变换$\mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for \ |s|\geqslant \frac{p}{2}$，最小的$p$值就称为带宽。

对于有限带宽信号，可以完全解决不确定性问题，即可以根据离散的采样值得到该信号的函数表达式$f(x)$

推导过程如下：

利用$Ш_p$的周期化性质，用$Ш_p$对$\mathcal{F}f(s)$进行周期化

$\mathcal{F}f * Ш_p$

从周期傅里叶变换恢复为原来的傅里叶变换

$\mathcal{F}f = \Pi_p(\mathcal{F}f * Ш_p)$

然后求傅里叶逆变换，得到时域信号

$\begin{align*}
f(t)
&=\mathcal{F}^{-1}(\Pi_p(\mathcal{F}f*Ш_p))\\
&=(\mathcal{F}^{-1}\Pi_p)*(\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}f*Ш_p)) \qquad(Fourier\ Convolution\ Thereom)\\
&=(psinc(pt))*((\mathcal{F}^{-1}\mathcal{F}f(t))(\mathcal{F}^{-1}Ш_p(t)))\\
&=(psinc(pt))*(f(t)\cdot \frac{1}{p}Ш_{\frac{1}{p}}(t))\qquad(Fourier\ Transform\ of\ Ш_p)\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}f(t)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x-\frac{k}{p}))\\
&=(psinc(pt))*(\frac{1}{p}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})\delta(x-\frac{k}{p})) \qquad(Ш_p\ Sampling\ Property)\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(pt)*\delta(x-\frac{k}{p})\\
&=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p}))\qquad \delta\ shift\ property
\end{align*}$

因此，对于有限带宽函数$f(t)$可写成如下形式，

$f(t) = \displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p})sinc(p(t-\frac{k}{p})) }\quad ,\quad \mathcal{F}f(s)\equiv 0 \ for\ |s|\geqslant\frac{p}{2}$

结论是：

• 对于带宽为$P$的函数$f(t)$，如果采样间隔为$\frac{1}{p}$，而且已知所有采样点$\displaystyle{ \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(\frac{k}{p}) }$的值，那么我们就能通过该公式内插得到原本的函数$f(t)$的所有的值。

这叫做采样定理（sampling theorem），这可以说是整个课程最重要的公式。