[问题2014S14] 解答

[问题2014S14]  解答

首先, 满足条件的 \varphiφ

的全体特征值都为零. 事实上, 任取 \varphiφ

的特征值 \lambdaλ

, 对应的特征向量为 0\neq\xi\in V0≠ξ∈V

, 即 \varphi(\xi)=\lambda\xiφ(ξ)=λξ

, 则由假设可得 0=(\varphi(\xi),\xi)=(\lambda\xi,\xi)=\lambda(\xi,\xi),

0=(φ(ξ),ξ)=(λξ,ξ)=λ(ξ,ξ),

因为 \xi\neq 0ξ≠0

, 故 (\xi,\xi)>0(ξ,ξ)>0

, 从而 \lambda=0λ=0

.

我们用反证法来证明结论. 若 \varphi\neq 0φ≠0

, 则 \varphiφ

的 Jordan 标准型中至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1, 不妨设为 J_m(0),\,m\geq 2Jm(0),m≥2

. 设这个 Jordan 块对应的基向量为 e_1,e_2,\cdots,e_me1,e2,?,em

, 则有 \varphi(e_1)=0,\,\,\varphi(e_2)=e_1,\,\,\cdots.

φ(e1)=0,φ(e2)=e1,?.

由 (\varphi(e_2),e_2)=0(φ(e2),e2)=0

可得 (e_1,e_2)=0(e1,e2)=0

. 由此可得 0=(\varphi(e_1+e_2),e_1+e_2)=(e_1,e_1+e_2)=(e_1,e_1)>0,

0=(φ(e1+e2),e1+e2)=(e1,e1+e2)=(e1,e1)>0,

这是一个矛盾.  \Box

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