第八章:再谈最大子数组问题

前段时间看《算法导论》了解到最大子数组问题，但没有做习题，遗漏了一些重要的知识，现在《编程珠玑》上看到完整的讲解，还有一些算法技巧，故记录于此。

1.定义问题

在数组中找出元素之和最大的子数组，假定当数组元素全部为负数时，最大子数组是空数组，和为0。

2.解决问题

令数组为x[n]，最大子数组下标为[p,q]。

2.1算法1:时间复杂度O(n³)

maxsofar=0
for i=[0,n)
    for j=[0,n)
        sum=0
        for k=[i,j]
            sum+=x[k]
        if(sum>maxsofar)
            maxsofar=sum
            [p,q]=[i,j]

2.2算法2:时间复杂度O(n²)

注意到x[i..j]的总和与x[i..j-1]密切相关，可以用“缓存”的思维改进算法1。得到算法2a

算法2a:

maxsofar=0
for i=[0,n)
    sum=0
    for j=[i,n)
        sum+=x[j]　　　
        if(sum>maxsofar)
            maxsofar=sum
            [p,q]=[i,j]    

用“将信息预处理到数据结构中”和“累积”的思维，得到2b

算法2b:

cumarr[-1]=0
for i=[0,n)
    cumarr=cumarr[i-1]+x[i]//cumarr的第i个元素保存了x[0..i]的和
maxsofar=0
for i=[0,n)
    for j=[i,n)
        sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
        if(sum>maxsofar)
            maxsofar=sum
            [p,q]=[i,j] 

2.3算法3:时间复杂度O(n lgn)

算法3采用分治策略，见这篇博客。

2.4算法4:时间复杂度O(n)

算法4是扫描算法，有关数组的问题经常可以通过询问“我如何将x[0..i-1]的解决方案拓展到x[0..i]的解决方案？”的方式来解决。

maxsofar=0
maxendinghere=0
for i=[0,n)
    maxendinghere=max(maxendinghere+x[i],0)//如果0较大，p=i
    maxsofar=max(maxsofar,maxendinghere)//如果maxedninghere较大，q=i

3.此算法进化过程中说明的几个重要的算法设计技术

4.习题解答

9.该问题对最大子数组的定义就是《算法导论》最大子数组的初始定义，故算法3变为这样。其它算法将maxsofar的初始值设为-∞即可。

10.初始化累加数组cum,使cum[i]=x[0]+...+x[i],如果cum[i]==cum[j],那么x[i..j-1]的和为0。具体实现可以将cum数组排序，然后在对于每个cum[i]调用二分查找，可在O(n lgn)时间内完成任务。为了得到i,j的值，在排序时需要记住每个元素原来的下标。

11.利用上述累加数组cum的思路，cum[i]记录收费站0到i之间的行驶费用。