二叉查找树(6) - 最近公共祖先LCA

给定二叉查找树中的两个节点，求它们的最近公共祖先(Lowest Common Ancestor - LCA)。

在详细介绍之前，可以先参考下这篇文章"二叉树(70) - 最近公共祖先[1]"

函数原型定义如下:

    Node *getLCA(Node* root, int n1, int n2)
    其中n1和n2是指定的两个节点值。

例如, 上述BST中，10和14的LCA是12，而8和14的LCA是8。

下面是来自Wikipedia的关于LCA的定义:

假设存在一颗二叉树T, 其中节点n1和n2的最小共同祖先的定义为，T中最小的节点，它包含了n1和n2做为后代(同时规定一个节点自己可以做为自己的后代).

节点n1和n2的LCA是一个共同的祖先，距离root根节点最远。对于LCA进行计算是很有用的，例如，可以计算树中一对节点之间的距离：n1到n2的距离为n1到root的距离，加上n2的root的距离，再减去它们的LCA到root距离的两倍。

解决方法:

可以利用BST的特性。从root节点开始进行递归遍历。此方法的主要思路是，当从top遍历至buttom时，第一次遇到的节点n，且n满足n1<n<n2，或者n等于n1或n2，则n是n1和n2的LCA。安装这种方法递归的遍历，当节点值比n1和n2都大时，则LCA位于此节点的左子树中；如果节点值小于n1和n2，则LCA位于此节点的右子树中。否则root就是LCA。

// C++程序，求BST这两个节点的LCA
#include <iostream>

struct Node
{
     int key;
     Node *left;
     Node *right;
};

//求n1和n2的LCA。假设n1和n2都位于BST中。
Node *getLCA(Node* root, int n1, int n2)
{
     if (root == NULL)
          return NULL;

     // 如果n1和n2小于root，则LCA位于左子树中
     if (root->key > n1 && root->key > n2)
          return getLCA(root->left, n1, n2);

     // 如果n1和n2大于root,则LCA位于右子树中
     if (root->key < n1 && root->key < n2)
          return getLCA(root->right, n1, n2);

     return root;
}

// 创建一个新的BST节点
Node *createNewNode(int item)
{
     Node *temp = new Node;
     temp->key = item;
     temp->left = temp->right = NULL;
     return temp;
}

int main()
{
    /*
         20
        /        8   22
     / \
    4   12
       /       10   14
    */
     Node *root = createNewNode(20);
     root->left = createNewNode(8);
     root->right = createNewNode(22);
     root->left->left = createNewNode(4);
     root->left->right = createNewNode(12);
     root->left->right->left = createNewNode(10);
     root->left->right->right = createNewNode(14);

     int n1 = 10, n2 = 14;
     Node *t = getLCA(root, n1, n2);
     printf("LCA of %d and %d is %d \n", n1, n2, t->key);

     n1 = 14, n2 = 8;
     t = getLCA(root, n1, n2);
     printf("LCA of %d and %d is %d \n", n1, n2, t->key);

     n1 = 10, n2 = 22;
     t = getLCA(root, n1, n2);
     printf("LCA of %d and %d is %d \n", n1, n2, t->key);

     return 0;
}

输出:

LCA of 10 and 14 is 12

LCA of 14 and 8 is 8

LCA of 10 and 22 is 20

时间复杂度： O(h)，其中h是树的高度.

另外，上面程序还需要额外的内存来进行递归的函数调用栈。可以使用下面的遍历方法来避免额外的内存空间。

//求节点n1和n2的LCA
Node *getLCA(Node* root, int n1, int n2)
{
    while (root != NULL)
    {
         // 如果n1和n2小于root，则LCA位于左子树中
        if (root->data > n1 && root->data > n2)
           root = root->left;
        // 如果n1和n2大于root,则LCA位于右子树中
        else if (root->data < n1 && root->data < n2)
           root = root->right;

        else break;
    }
    return root;
}