2142: 礼物
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Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100 4 2 1 2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。
组合数取模终极题目。
这道题的答案很好算C(n,tot)+C(tot,w[1])+C(tot-w[1],w[2])+...
由于n很大，想到用lucas定理，但是模不是质数！！
首先质数的幂之间一定互质，那么我们可以把模分解成几个质数的幂的乘积的形式，对每一个质数的幂求解，然后用中国剩余定理将他们合并起来即可。
那么如何快速计算组合数对质数的幂取模呢？
C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)
我们可以把分子分母分别化成t1*p^u1，t2*p^u2的形式，然后把C(n,m)=t1/t2 *p^(u1-u2)，此时t1/t2可以用扩展欧几里得直接求出，乘上p^(u1-u2)就是答案。
可是如何快速求出n!=t*p^u的t和u的值呢？
我们把所有是p的倍数的数提出来，先不考虑。
先考虑t的值（注意所有是p的倍数的数不参与计算）：
如果y=n/(p^u)，如果y>1那么我们可以算出1-p^u的值为ans,那么t=ans^y*剩下数的乘积，否则直接暴力算1-n
再看u的值，p的倍数的数有1*p,2*p,3*p.....k*p（k=n/p）,我们把p提出来之后就变成了1,2,3...k，于是问题变成了更小规模的原问题！递归解决即可~
复杂度是线性的~
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#define N 100000+5
#define LL long long
#define pa pair<LL,LL>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
LL mod,a[N];
int n,m,v[N],p[N],s[100],tot,num;
struct divi
{
int p,c,pc;
}w[N];
void Prepare()
{
int cnt=0;
for (int i=2;i<=100000;i++)
if (!v[i])
{
p[++cnt]=i;
for (int j=i;j<=100000;j+=i)
v[j]=1;
}
num=0;
LL x=mod;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
{
if (x<=1) break;
if (x%p[i]) continue;
w[++num].p=p[i];
w[num].pc=1;
while (x%p[i]==0)
w[num].c++,x/=p[i],w[num].pc*=p[i];
}
}
LL Pow(LL a,int n,LL mod)
{
LL base=a,ans=1;
while (n)
{
if (n&1) ans=ans*base%mod;
base=base*base%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
void Exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
if (!b)
{
d=a,x=1,y=0;
return;
}
Exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=x*(a/b);
}
LL Inv(LL a,LL n)
{
LL xx,yy,d;
Exgcd(a,n,d,xx,yy);
return (xx%n+n)%n;
}
pa Fac(int k,LL n)
{
if (n==0) return mp(0,1);
int x=n/w[k].p,y=n/w[k].pc;
LL ans=1;
if (y)
{
for (int i=2;i<w[k].pc;i++)
if (i%w[k].p!=0)
ans=ans*1LL*i%w[k].pc;
ans=Pow(ans,y,w[k].pc);
}
for (int i=y*w[k].pc+1;i<=n;i++)
if (i%w[k].p!=0)
ans=ans*1LL*i%mod;
pa p=Fac(k,x);
return mp(x+p.fi,ans*p.se%mod);
}
LL Get(int k,LL n,LL m)
{
if (n<m) return 0;
pa a=Fac(k,n),b=Fac(k,m),c=Fac(k,n-m);
LL mod=w[k].pc;
return Pow(w[k].p,a.fi-b.fi-c.fi,mod)*
a.se%mod*Inv(b.se,mod)%mod*
Inv(c.se,mod)%mod;
}
LL CRT()
{
LL M=mod,d,y,x=0;
for (int i=1;i<=num;i++)
{
LL r=M/w[i].pc;
Exgcd(w[i].pc,r,d,d,y);
x=(x+r*y*a[i])%M;
}
return (x+M)%M;
}
LL C(int n,int m)
{
for (int i=1;i<=num;i++)
a[i]=Get(i,n,m);
return CRT();
}
int main()
{
scanf("%lld",&mod);
scanf("%d%d",&n,&m);
Prepare();
LL ans;
int tot=0;
for (int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d",&s[i]),tot+=s[i];
if (tot>n)
{
puts("Impossible");
return 0;
}
ans=C(n,tot)%mod;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
ans=ans*C(tot,s[i])%mod;
tot-=s[i];
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
