[问题2014A13] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第十五教学周）

[问题2015S04] 设 \(A\) 为 \(n\) 阶方阵, \(C\) 为 \(k\times n\) 矩阵, 且对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}A-\lambda I_n\\ C \end{pmatrix}\) 均为列满秩阵. 证明: 对任意的 \(\lambda\in\mathbb{C}\), \(\begin{pmatrix}C \\ C(A-\lambda I_n) \\ C(A-\lambda I_n)^2 \\ \

[问题2014A03]  设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\,(n\geq 3)\) 阶方阵,\(A_{ij}\) 为第 \((i,j)\) 元素 \(a_{ij}\) 在 \(|A|\) 中的代数余子式,证明: \[\begin{vmatrix} A_{22} & A_{23} & \cdots & A_{2n} \\ A_{32} & A_{33} & \cdots & A_{3n} \\ \vdots & \vdots &

[问题2014S15]  设 OO 为 nn 阶正交阵,A=\mathrm{diag}\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}A=diag{a1,a2,?,an} 为实对角阵, 证明: 方阵 OAOA 的特征值 \lambda_jλj 适合不等式:  m\leq |\lambda_j|\leq M,\,\,1\leq j\leq n, m≤|λj|≤M,1≤j≤n, 其中 m=\min_{1\leq i\leq n}|a_i|,\,\,M=\max_{1\leq i\leq n}|a_i|.

[问题2015S14]  设 \(J=\begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{pmatrix}\), \(A\) 为 \(2n\) 阶实矩阵, 满足 \(AJA'=J\), 证明: \(\det(A)=1\). 提示  \(\det(A)=\pm 1\) 是显然的, 设法计算 \(AJ+JA\) 的行列式, 再证明 \(\det(A)>0\) 即可. 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/hom

[问题2015S12]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 若对任意的非零 \(n\) 维实列向量 \(\alpha\), 总有 \(\alpha'A\alpha>0\), 则称 \(A\) 为亚正定阵. 显然, 如果 \(A\) 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 \(A\) 就是正定阵. 以下设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶亚正定阵, \(c\) 是正实数, 求证: (1) \(A\) 是亚正定阵的充要条件是 \(A+A'\) 是正定阵; (2) \(A\) 的特征值的实

[问题2015S10]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实方阵, 证明: 存在 \(n\) 阶非异实对称阵 \(R\), 使得 \(A'=R^{-1}AR\), 即 \(A\) 可通过非异实对称阵相似于其转置 \(A'\). 问题解答请在以下网址下载:http://pan.baidu.com/share/home?uk=103502710#category/type=0

[问题2015S03]  设 \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的不可约多项式. 设 \(V\) 是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 维线性空间, \(\varphi\) 是 \(V\) 上的线性变换, \(\alpha_1\neq 0,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是 \(V\) 中的向量, 满足 \[\varphi(\alpha_1)=\alpha_2,\

[问题2014A01]  试求下列 \(n\) 阶行列式的值: \[ |A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ 1 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots &  &

[问题2014A11]  求证下列方程组只有零解, 即 \(x_1=x_2=\cdots=x_n=0\): \[\begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=0, \\ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=0, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x_1^n+x_2^n+\cdots+x_n^n=0. \end{cases}\] 注  请不要用对称多项式的 Newton 公式来证明.