BZOJ3930:[CQOI2015]选数——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3172#sub

我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

参考:
http://blog.csdn.net/u012288458/article/details/51024404

http://blog.csdn.net/TA201314/article/details/50963772

(然而上面这两位或多或少都有问题)

首先想到莫比乌斯反演,你们dp都是怎么想到的啊喂。

先行特判掉\(n=1\)和\(l>r\)和\(k>r\)的情况。

那么开始推式子,注意为了本人的习惯把h改为了r:

\(\sum_{i_1=l}^r\sum_{i_2=l}^r\cdots\sum_{i_n=l}^r[gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n)=k]\)

\(=\sum_{i_1=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\sum_{i_2=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\cdots\sum_{i_n=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}[gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n)=1]\)

\(=\sum_{i_1=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\sum_{i_2=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\cdots\sum_{i_n=\lceil\frac{l}{k}\rceil}^{\lfloor\frac{r}{k}\rfloor}\sum_{d|gcd(i_1,i_2,\cdots,i_n)}\mu(d)\)

\(=\)套路(为了方便起见,下文开始\(\lfloor\frac{r}{k}\rfloor=r,\lceil\frac{l}{k}\rceil=l\))

\(=\sum_{d=1}^{r-l}(\lfloor\frac{r}{d}\rfloor-\lfloor\frac{l-1}{d}\rfloor)^n\mu(d)\)

(这里有一个奇妙的性质那就是在\([l,r]\)区间中任取两个不相等的数,则他们的最大公约数不大于\(r-l\))

(问了数竞大佬,貌似给了一个靠谱的证明?我们取\(ij\)两个互质的数,显然它们\(gcd=1\),那么我们给他们同时乘数m,则它们的\(gcd=m\),而\(r-l\)最小即为\((j-i)*m>=m\),问题得证。)

但是注意对于有相同数的数对我们要减去它们才可以,所以边算边记录,最后一并扣掉。

同时注意如果\(l=1\)的话则\(l\)到\(r\)之间存在\(k\)所以一堆\(k\)是成立的于是不能多减。

小技巧:因为我们要用到的是\(l-1\),所以最开始扣掉1。

但是我按照原来的\(l\)重新写了代码发现跪了,所以emmm我不知道是我代码实现能力太差还是我导的哪里有问题,所以如果有人能够指出错误非常欢迎。

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const ll p=1e9+7;
ll n,k,l,r,su[N],miu[N],cnt[N];
bool he[N];
ll pow(ll x,ll y){
    ll res=1;
    while(y){
    if(y&1)res=res*x%p;
    x=x*x%p;
    y>>=1;
    }
    return res;
}
void Euler(int n){
    int tot=0;
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!he[i]){
        su[++tot]=i;
        miu[i]=-1;
    }
    for(int j=1;j<=tot;j++){
        if(i*su[j]>n)break;
        he[i*su[j]]=1;
        if(i%su[j]==0){
        miu[i*su[j]]=0;break;
        }
        else miu[i*su[j]]=-miu[i];
    }
    }
    return;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&r);
    if(l>r||k>r){
    puts("0");
    return 0;
    }
    if(n==1){
    if(l<=k&&k<=r)puts("1");
    else puts("0");
    return 0;
    }
    Euler(1e5);
    l=(l-1)/k;r/=k;
    ll ans=0;
    for(int i=r-l;i>=1;i--){
    if(miu[i]){
        int j=i*(l/i+1),tot=0;
        while(j<=r){
        cnt[j-l]+=miu[i];
        j+=i;tot++;

        }
        ans=(ans+miu[i]*pow(tot,n)%p)%p;
    }
    }
    for(int i=r-l;i>1;i--){
    ans=(ans-cnt[i])%p;
    }
    if(!l)ans=(ans-(1-cnt[1]))%p;
    else ans=(ans-cnt[1])%p;
    printf("%lld\n",(ans+p)%p);
    return 0;
}

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

+本文作者:luyouqi233。               +

+欢迎访问我的博客:http://www.cnblogs.com/luyouqi233/+

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

原文地址:https://www.cnblogs.com/luyouqi233/p/8625321.html

时间: 2024-10-08 16:42:43

BZOJ3930:[CQOI2015]选数——题解的相关文章

BZOJ3930 [CQOI2015]选数 【容斥】

题目 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. 输入格式 输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. 输出格式 输出一个整数

bzoj3930 [CQOI2015]选数

Description 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. Input 输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. O

BZOJ 3930: [CQOI2015]选数 递推

3930: [CQOI2015]选数 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930 Description 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助

BZOJ 3930: [CQOI2015]选数

3930: [CQOI2015]选数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1130  Solved: 532[Submit][Status][Discuss] Description 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简

【刷题】BZOJ 3930 [CQOI2015]选数

Description 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案.小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究.然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. Input 输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H. O

【反演复习计划】【COGS2433】&amp;&amp;【bzoj3930,CQOI2015选数】爱蜜莉雅的冰魔法

同bzoj3930. (日常盗题图) #include<bits/stdc++.h> #define N 1000010 #define yql 1000000007 #define ll long long using namespace std; int n; ll m,l,r,k;ll f[N]; ll Pow(ll x,int y){ ll ans=1; while(y){if (y&1) ans=ans*x%yql; x=x*x%yql; y>>=1; } ret

【题解】CQOI2015选数

这题做的时候接连想错了好多次……但是回到正轨上之后依然是一个套路题.(不过这题好像有比莫比乌斯反演更好的做法,莫比乌斯反演貌似是某种能过的暴力ヽ(´ー`)┌)不过能过也就行了吧哈哈. 首先我们把数字的范围要进行缩小:最大公约数为 \(K\) 那自然所有选出来的数都必须是 \(K\) 的倍数.所以我们改选数为选择是 \(K\) 的多少倍.然后由于是最大公约数,所以选出来的这些数必须最大公约数等于\(1\).实际上多个数的最大公约数\( = 1\)完全可以和两个数的最大公约数 \( = 1\) 用一

CQOI2015 选数

粘题目描述: 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案. 小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究. 然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助. 你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. 题解: 容斥+递推.如果我们在区间[l,r]种任取n个不全相同的数时,他们的g

CQOI2015 选数+酱油记

昨天我们考了CQOI2015的题..那还是找一道最可做的写一写好了>.<.. 考试的结果还是不多说了..反正我是知道暴力乱搞高精度的重要性了..骗分的OI才有随机性才好玩,嘛... 成绩不忍直视但竟然还没出前三..感人肺腑... 怎么觉得自从看了CLJ犇的Blog之后越来越喜欢模仿他们的语气卖萌了呢~~ 还是总结一下考试好了,嗯... 感觉我考的时候还是不太在状态..然后有的题目想出来了之后就不太想打了= =..然后四处duang啊duang..时间一下子就过去了呢>.< 根据C老