计量经济与时间序列_时间序列过程的移动平均和自回归表示

1   在时间序列分析中有两种有用的表示来描述时间序列过程。一种是将过程写成一列不相关的随机变量的线性组合。这个过程叫moving average过程，也叫MA过程。

2   Wold（1938年）证明：纯非确定性的平稳过程（即改过程不包含能够由自身过去值进行精确预报的确定性成分）能够表示成下面的式子：

3   Z_t = μ + a_t + φ₁a_t-1 + φ₂a_t-2+ ... ...　　　　（3.1）

4   (3.1)的式子中，Wold表示说，任何能够表示成这种形式的过程称为非确定性过程。这也叫线性过程。

5   另外，另一种有用的形式是将过程Zt写成自回归的形式(autoregressive ,AR)的形式，这种形式与(3.1)的式子不同就是，我们用t时刻的Z值关于他过去的值加上随机扰动进行回归，即表示成下面的式子：

6   Z_t = a_t + π₁Z_t-1 + π₂Z_t-2+ ... ...　　　　（6.1）

7   这两个两个式子是构成时间序列过程描述的最基本的两种形式，也就是常说的AR模型和MA模型。

8   这两种形式有这么一种性质，Box和Jenkins在1976年解释：自回归和移动平均这两种过程，对于理解预报机制是有用的。他们认为在预报是，不可逆的过程是没有意义的。因此该过程是可逆的。

9   显然，并不是每一个平稳过是可逆的。如果一个线性过程是可逆的，那么就能够表示成AR形式。他的根也是在单位圆外。

10   这两个形式，有时候对于有限阶的自回归模型和移动平均模型，参数数据仍然很大。根据可逆性的这个性质。一个有效的解决办法就是用混合自回归移动平均模型，也就是常说的ARMA模型。μ + a_t + φ₁a_t-1 + φ₂a_t-2 = a_t + π₁Z_t-1 + π₂Z_t-2    （10.1）

11 对于一个固定数目的观测值，模型的参数越多，参数估计的效率越低。一般的，在其他条件相同的情况下。通常选择简单的模型描述现象。

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