作者：张子秋
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本篇文章讲解了计算机的原码、反码和补码，并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码，以及更进一步的论证了为何可以用反码、补码的加法去计算原码的减法。
论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正！希望本文对大家学习计算机基础有所帮助！
下面这张图片是我自己的小见解：
一. 机器数和机器数的真值
在学习原码，反码和补码之前， 需要先了解机器数和真值的概念。
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用机器数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。
比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是 0000 0011。如果是 -3 ，就是 100 00011 。
那么，这里的 0000 0011 和 1000 0011 就是机器数。
2、机器数的真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。
例如上面的有符号数 1000 0011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3，而不是形式值131（1000 0011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码, 反码, 补码的基础概念和计算方法
在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储，原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如：如果是8位二进制：
[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001
第一位是符号位，因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：（即第一位不表示值，只表示正负。）
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
2. 反码
反码的表示方法是：
正数的反码是其本身；
负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反
可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值。通常要将其转换成原码再计算。
3. 补码
补码的表示方法是：
正数的补码就是其本身；
负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。(也即在反码的基础上+1)
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]补
对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码再计算其数值。
三. 为何要使用原码、反码和补码
在开始深入学习前，我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码，反码和补码的表示方式以及计算方法。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数，对于正数因为三种编码方式的结果都相同：
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]补
所以不需要过多解释，但是对于负数：
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补
可见原码，反码和补码是完全不同的。既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢？
首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减。(真值的概念在本文最开头) 但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单，计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂！
于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即：1-1 = 1 + (-1) = 0， 所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了。
于是人们开始探索将符号位参与运算，并且只保留加法的方法。
首先来看原码：
计算十进制的表达式： 1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 = -2
如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
为了解决原码做减法的问题， 出现了反码：
计算十进制的表达式：1 - 1 = 0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的。而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上，虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的，而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0。
于是补码的出现，解决了0的符号问题以及0的两个编码问题：
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [1 0000 0000]补=[0000 0000]补=[0000 0000]原 注意：进位1不在计算机字长里。
这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128：-128的由来如下：
(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补
-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，[1000 0000]补 就是-128，但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补，算出来的原码是[0000 0000]原，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为[-127, +127]，而使用补码表示的范围为[-128, 127]。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型，可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位，而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
四 原码, 反码, 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢？
将钟表想象成是一个1位的12进制数。如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢？我们可以：
1. 往回拨2个小时：6 - 2 = 4
2. 往前拨10个小时：(6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨10+12=22个小时：(6+22) mod 12 =4
上面2,3方法中的mod是指取模操作，16 mod 12 =4，即用16除以12后的余数是4。
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数呢？上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律。但是数学是严谨的，不能靠感觉。
首先介绍一个数学中相关的概念：同余
同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余。
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明：
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以4，16，28对于模 12 同余。
负数取模
正数进行mod运算是很简单的，但是负数呢？
下面是关于mod运算的数学定义：
上面是截图，"取下界”符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码)。下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号：
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界。
以 -3 mod 2 举例:
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以:
(-2) mod 12 = 12-2=10 (-2) mod 12 = -2 - 12x[-2/12] = -2 - 12x(-1) = -2 + 12 = 10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8 (-4) mod 12 = -4 - 12x[-4/12] = -2 -12x(-1) = -4 + 12 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7 (-5)mod 12 = -5 - 12x[-5/12] = -5 -12x(-1) = -5 + 12 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上：
回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时
注意，这里发现的规律！
结合上面学到的同余的概念，实际上：
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2与10是同余的。
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4与8是同余的。
距离成功越来越近了。要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理：
反身性：
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的。
线性运算定理：
如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么：
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明，请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以：
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数，找到了它的正数同余数。但是并不是7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ，即计算结果的余数相等。
接下来回到二进制的问题上，看一下：2-1=1的问题。
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反
先到这一步，-1的反码表示是1111 1110。如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126。
发现有如下规律：
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即：
2 ≡ 2 (mod 127)
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126的余数结果是相同的！而这个余数，正式我们的期望的计算结果：2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个模的同余数。而这个模并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值！这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值！
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果。
既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢？为什么在反码的基础上加1，还能得到正确的结果？
2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补
如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则：
[0111 1111]原 = 127
其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了模的值：
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2 ≡ 2 (mod 127)
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时，表盘相当于每128个刻度转一轮。所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]。
但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128, 127]
本人一直不善于数学，所以如果文中有不对的地方请大家多多包含，多多指点！
原文地址：https://www.cnblogs.com/chenmingjun/p/8306863.html