动态规划-最大子矩阵

问题：给一列数n个，求最大连续子序列和（即连续的子序列中和最大的序列）若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素  本文作者 凌风 csdn （iaccepted）

拓展：给一个n*n的矩阵，求其中和最大的子矩阵（即所有子矩阵中和最大的阵）

首先也是从最简单的着手，拿到问题，很容易想到的就是直接爆搜(求所有可能的子序列和并找出最大的即可)时间复杂度为n^2

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print?

1. #include <stdio.h>
2. #include <string.h>
3. #include <limits.h>
4. #define N 10002
5. /*
6. problem:求最大连续子序列的问题dp
7. time：n^2
8. */
9. int main(){
10. int a[N],i,j,maxx,sum,n,ps,pe;
11. scanf("%d",&n);
12. for(i=0;i<n;++i){
13. scanf("%d",&a[i]);
14. }
15. maxx = INT_MIN;//初始为最小整数
16. for(i=0;i<n;++i){
17. sum = 0;
18. for(j=i;j<n;++j){//i，j两个子循环来遍历所有的子序列并计算其和(a[i]加到a[j])
19. sum += a[j];
20. if(sum>maxx){//把和大的保留并记录下最大序列的始末位置ps、pe
21. maxx = sum;
22. ps = i;
23. pe = j;
24. }
25. }
26. }
27. printf("%d %d %d\n",maxx,a[ps],a[pe]);
28. }

上面的这段代码思路非常的清晰也便于理解，但是数据量大的话时间消耗也会很大，当然ACM的要求肯定是达不到了，现在做时间复杂度为n的算法来解决该问题。

该算法基于的思想也很简单，最大连续子序列和的第一个元素不可能是负数，这点很好证明（反证），假设a[i…j]为最大的连续子序列且a[i]为负，那我a[i+1…j]的和将会大于a[i…j]的和，所以与原假设矛盾，这就能推出最大子序列和的第一个元素不可能是负数。得到这个结论我们就可以进一步进行推广，那就是如果一个子序列的和为负数，那么这个序列不可能是最大连续子序列中的开始的一段序列（类似于第一个元素的方法可得到证明即把这段和看做是一个元素）。根据这一思想就可以得到本体线性的算法。

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print?

1. #include <stdio.h>
2. #include <string.h>
3. #include <limits.h>
4. #define N 10002
5. int main(){
6. int a[N],maxx,i,n,sum,ps,pe,ts,te;
7. scanf("%d",&n);
8. for(i=0;i<n;++i){
9. scanf("%d",&a[i]);
10. }
11. sum = 0;
12. maxx = INT_MIN;
13. for(i=0;i<n;++i){
14. if(sum<=0){//如果前面的和为负，则前面的序列舍掉从本元素开始重新确定新序列
15. sum = a[i];
16. ts = i;
17. te = i;
18. }else{//如果前面的和为正，则可能出现在最大序列中，所以要继续累加
19. sum += a[i];
20. te = i;
21. }
22. if(sum>maxx){//记录下最大子序列和及起始和结束位置
23. maxx = sum;
24. ps = ts;
25. pe = te;
26. }
27. }
28. printf("%d %d %d\n",maxx,a[ps],a[pe]);
29. return 0;
30. }

至此，最大连续子序列问题得到解决。

下面记录下最大子矩阵和的求法。

其实最大子矩阵和的算法就是最大连续子序列的一个拓展问题，思路很简单，就是将矩阵先预处理下，按列累加，然后通过三个循环变量来遍历所有的子矩阵，对每个子矩阵以列和为元素转化为n个元素序列求最大连续子序列的问题就可以了。

本文作者 凌风 csdn（iaccepted）

作者博客：http://blog.csdn.Net/iaccepted，欢迎交流