【弱省胡策】Round #5 Handle 解题报告

这个题是我出的 sb 题。

首先,我们可以得到:

$$A_i = \sum_{j=i}^{n}{j\choose i}(-1)^{i+j}B_j$$

我们先假设是对的,然后我们把这个关系带进来,有:

$$B_i = \sum_{j=i}^{n}{j\choose i}A_j = \sum_{j=1}^{n}{j\choose i}\sum_{k=j}^{n}{k\choose j}(-1)^{j+k}B_k = \sum_{j=i}^{n}B_j\sum_{k=i}^{j}{j\choose k}{k\choose i}(-1)^{j+k}$$

然后有:

$${j\choose k}{k\choose i} = \frac{j!k!}{k!(j-k)!i!(k-i)!} = \frac{j!(j-i)!}{(j-i)!(j-k)!i!(k-i)!} = {j\choose i}{j - i \choose j - k}$$

故:

$$B_i = \sum_{j=i}^{n}B_j\sum_{k=i}^{j}{j\choose i}{j - i\choose j - k}(-1)^{j+k} = \sum_{j=i}^{n}B_j{j\choose i}\sum_{k=0}^{j-i}{j - i\choose k}(-1)^k$$

又因为从一个非空石子堆中选出奇数个石子和偶数个石子的方案总数是一样的,所以有:

$$\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}(-1)^i = [n == 0]$$

故:

$$B_i = \sum_{j = i}^{n}B_j{j\choose i}[i == j] = B_i$$

发现我们构造的这个关系是没有矛盾的,所以就可以用这个关系来算 $A_i$ 了。

我们刚才证明了这个关系的充分性,那么必要性呢?

因为这是一个满秩的 $n$ 元一次方程组,所以有且仅有一组解满足这个关系。

然而我们现在就找到了这样的一组合法解,所以必要性也是显然的。

所以我们可以得到这两组关系互为充分必要条件,也就是等价的。

把式子展开,有:

$$A_i = \sum_{j=i}^{n}\frac{j!(-1)^jB_j}{i!(-1)^i(j-i)!}$$

其中 $\frac{1}{i!(-1)^i}$ 我们可以最后再考虑,然后我们令 $T_i = A_{n-i}\times (n-i)!\times (-1)^{n-i}$,那么有:

$$T_i = \sum_{j=n-i}^{n}\frac{j!(-1)^jB_j}{(j-n+i)!} = \sum_{j=0}^{i}\frac{(n-j)!(-1)^{n-j}B_{n-j}}{(i-j)!}$$

令 $X_i = (n-i)!(-1)^{n - i}B_{n-i}$,$Y_i = \frac{1}{i!}$,那么就有:

$$T_i = \sum_{j=0}^{i}X_j\times Y_{i - j}$$

就可以用 FFT 来算了,算完之后再处理处理就 OK 了。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

 1 #include <cmath>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <iostream>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long LL;
 8 #define N 262144 + 5
 9 #define Mod 998244353
10 #define g 3
11
12 int n, d, len, A[N], Fac[N], Inv[N], X[N], Y[N], Rev[N], e[N];
13
14 inline int Inc(int a, int b)
15 {
16     return a + b - (a + b >= Mod ? Mod : 0);
17 }
18
19 inline int power(int u, int v)
20 {
21     int res = 1;
22     for (; v; v >>= 1)
23     {
24         if (v & 1) res = (LL) res * u % Mod;
25         u = (LL) u * u % Mod;
26     }
27     return res;
28 }
29
30 inline void Prepare()
31 {
32     Fac[0] = Inv[0] = 1;
33     for (int i = 1; i <= n + 1; i ++)
34         Fac[i] = (LL) Fac[i - 1] * i % Mod;
35     Inv[n + 1] = power(Fac[n + 1], Mod - 2);
36     for (int i = n; i; i --)
37         Inv[i] = (LL) Inv[i + 1] * (i + 1) % Mod;
38 }
39
40 inline void FFT(int *p)
41 {
42     for (int i = 0; i < len; i ++)
43         if (Rev[i] > i) swap(p[i], p[Rev[i]]);
44     for (int k = 1, s = 1; k < len; k <<= 1, s ++)
45         for (int i = 0; i < len; i ++)
46         {
47             if (i & k) continue ;
48             int t = (i & k - 1) << d - s;
49             int u = (LL) e[t] * p[i + k] % Mod;
50             p[i] = Inc(p[i], u);
51             p[i + k] = Inc(p[i], Mod - Inc(u, u));
52         }
53 }
54
55 int main()
56 {
57     #ifndef ONLINE_JUDGE
58         freopen("handle.in", "r", stdin);
59         freopen("handle.out", "w", stdout);
60     #endif
61
62     scanf("%d", &n);
63     for (int i = 0; i <= n; i ++)
64         scanf("%d", A + i);
65     Prepare();
66     for (len = (n + 1) << 1; len != (len & -len); len += (len & -len)) ;
67     for (int i = len; i > 1; i >>= 1, d ++) ;
68     for (int i = 0; i <= n; i ++)
69     {
70         X[i] = (LL) A[n - i] * Fac[n - i] % Mod * ((i & 1) ? Mod - 1 : 1) % Mod;
71         Y[i] = Inv[i];
72     }
73     for (int i = 0, w = power(g, (Mod - 1) / len); i < len; i ++)
74     {
75         for (int j = 0; j < d; j ++)
76             if ((i >> j) & 1) Rev[i] += 1 << (d - j - 1);
77         e[i] = !i ? 1 : (LL) e[i - 1] * w % Mod;
78     }
79     FFT(X), FFT(Y);
80     for (int i = 0, Inv_w = power(power(g, (Mod - 1) / len), Mod - 2); i < len; i ++)
81     {
82         X[i] = (LL) X[i] * Y[i] % Mod;
83         e[i] = !i ? 1 : (LL) e[i - 1] * Inv_w % Mod;
84     }
85     FFT(X);
86     for (int i = 0, Inv_len = power(len, Mod - 2); i < len; i ++)
87         X[i] = (LL) X[i] * Inv_len % Mod * Inv[n - i] % Mod * ((i & 1) ? Mod - 1 : 1) % Mod;
88     for (int i = n; ~i; i --)
89         printf("%d%c", X[i], !i ? ‘\n‘ : ‘ ‘);
90
91     #ifndef ONLINE_JUDGE
92         fclose(stdin);
93         fclose(stdout);
94     #endif
95     return 0;
96 }

Handle_Gromah

时间: 2024-10-13 10:56:46

【弱省胡策】Round #5 Handle 解题报告的相关文章

弱省胡策系列简要题解

现在不是非常爽,感觉智商掉没了,就整理一下最近弱省胡策的题目吧. 其实题目质量还是很高的. 如果实在看不懂官方题解,说不定这里bb的能给您一些帮助呢? [弱省胡策]Round #0 A 20%数据,O(n4)傻逼dp. 40%数据,O(n3)傻逼dp. 100%数据,令f(x1,y1,x2,y2)表示从(x1,y1)走到(x2,y2)的路径条数.于是所有路径就是f(1,2,n?1,m)×f(2,1,n,m?1).然而两条路径可能在中间的某个点相交,我们找出最早的交点,并在这个交点互换两条路径的后

【弱校胡策】2016.4.14 (bzoj2164)最短路+状压DP+矩阵乘法+高斯消元+树链剖分+线段树+背包DP

cyyz&qhyz&lwyz&gryz弱校胡策 命题人:cyyz ws_fqk T3暴力写挫了 50+10+0滚粗辣! 奇妙的约会(appointment.cpp/c/pas) [问题描述] DQS和sxb在网上结识后成为了非常好的朋友,并且都有着惊人 的OI水平.在NOI2333的比赛中,两人均拿到了金牌,并保送进入 HU/PKU.于是两人决定在这喜大普奔的时刻进行面基. NOI2333参赛选手众多,所以安排了n个考点,DQS在1号考点, 而sxb在n号考点.由于是举办全国性赛事

Codeforces Round #277.5 解题报告

又熬夜刷了cf,今天比正常多一题,比赛还没完但我知道F过不了了,一个半小时贡献给F还是没过--应该也没人Hack,写写解题报告吧= =! 解题报告如下: A题:选择排序直接搞,因为不要求最优交换次数,代码: #include <iostream> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <memory.h> #include <vector> #include <stack> #

【弱省胡策】Round #6 String 解题报告

感觉这个题好神啊. 首先我们只管 $a = b$ 的情况,那么我们自然就可以把这个串对 $a$ 取模,然后用 KMP 求出能弄出几个其他的 B 串. 具体就是把串先倍长,然后倒过来,然后求 $Next$ 数组,然后从 $2n$ 开始沿着 $Next[]$ 跳,直到跳到 $\le n$ 的时候停止,看哪些位置被跳到了,哪些位置就是合法的. 问题是现在 $a \neq b$ 怎么办..? 我猜啊,我们可以求出限制是 $a$ 的倍数时,哪些 B 串是合法的,再求出限制是 $b$ 的倍数是,哪些是合法的

【弱省胡策】Round #7 Rectangle 解题报告

orz PoPoQQQ 的神题. 我的想法是:给每一个高度都维护一个 $01$ 序列,大概就是维护一个 $Map[i][j]$ 的矩阵,然后 $Map[i][j]$ 表示第 $i$ 根柱子的高度是否 $\ge j$. 那么怎么维护 $Map[i][j]$ 呢..? 首先我们把柱子按照高度从小到大排序,然后依次给每个高度建主席树,初始时 $Map[i][0]$ 全是 $1$,然后如果当前高度 $i$ 比某个柱子 $j$ 的高度要大了,那么就单点修改 $Map[i][j]$,然后这个就是主席树动态开

【弱省胡策】Round #5 Construct 解题报告

这个题是传说中的 Hack 狂魔 qmqmqm 出的构造题.当然要神. 这个题的本质实际上就是构造一个图,然后使得任意两点间都有长度为 $k$ 的路径相连,然后对于任意的 $i < k$,都存在两个点使得这两个点没有长度为 $i$ 的路径相连. 我的构造方法就是: 首先给每个点连一个自环. 构造一个大小为 $n-k+1$ 的团. 然后剩下的点造成一条链并与 $n-k+1$ 号点相连. 这样的解是一组可行解. 时间复杂度 $O(n^2)$,空间复杂度 $O(1)$. 1 #include <cs

【题解】[CH弱省胡策R2]TATT

本蒟蒻第一道\(K-D-Tree\)维护\(dp\) Question 题目大意:求一条路径,使得其四个维度单调不降. 先排序消掉一维再说. 对于每一个点,初始的时候绝对长度是1啊.于是,先赋值一个1,对于每一个点. 设计\(dp\)数组 \[f[i]=max_{f[j]}(a[j]<=a[i],b[j]<=b[i],c[j]<=c[i],d[j]<=d[i])\] 那问题就转为,对于每一个点,如何求出在它之前的最大\(f[i]\)值. 发现问题类似于三维偏序,正好\(K-D-Tr

Codeforces Round#320 Div2 解题报告

Codeforces Round#320 Div2 先做个标题党,骗骗访问量,结束后再来写咯. codeforces 579A Raising Bacteria codeforces 579B Finding Team Member codeforces 579C A Problem about Polyline codeforces 579D "Or" Game codeforces 579E Weakness and Poorness codeforces 579F LCS Aga

Codeforces Round #259 (Div. 2) 解题报告

终于重上DIV1了.... A:在正方形中输出一个菱形 解题代码: 1 // File Name: a.cpp 2 // Author: darkdream 3 // Created Time: 2014年08月01日 星期五 23时27分55秒 4 5 #include<vector> 6 #include<set> 7 #include<deque> 8 #include<stack> 9 #include<bitset> 10 #inclu