本节课介绍了一种全新的数据结构——跳跃表
跳跃表是一种简单又有趣的动态搜索数据结构,其主要优点在于其易于实现,而且很好的保证了其具有高效的性能,即2*O(lgn)的搜索性能
在此之前我想首先谈谈链表,链表的优点在于其插入和删除只需要常数项的时间(加上查找该元素需要额外的O(n)时间),但是其查找效率只有O(n),这里顺带补充一下链表类的问题,以下先给出两个BAT公司面试时热衷于考的两个链表经典问题:
1.如何快速查找单向链表倒数第m个元素
2.如何快速判断一个单向链表是否存在环
对于链表类问题,其核心思想不外乎两点,1是开双指针(甚至多指针),2是开双链表(甚至多链表),其实以上两个问题开双指针便能巧妙地解决,第一个问题,先开一个指针走m步,然后再开一个指针同步走,当前一个指针走到链表末端时,后一个指针就正好指向倒数第m个元素了,第二个问题,开一个快指针和一个慢指针,快指针每次移动两步,慢指针每次移动一步,如果存在环,那么快指针一定会追到慢指针,可以想象两个人在操场赛跑,快的人跑了很久之后会超慢的人一圈。
接下来我们继续谈跳跃表,其实跳跃表用到的就是第二个思路,开双链表甚至多个链表
首先考虑建立两个链表L1和L2,L1为快表,即只保存部分元素,L2为慢表保存全部元素,注意,以下提到的链表均为排好序的链表
当我们要搜索某一元素时,我们先走快表,因为快表只保留了部分元素,所以是跳跃前进的,直到快表走过该元素,我们再退回快表前一个结点换到慢表继续走,这样效率显然比在慢表上进行线性查找要好一些,这里的快慢表就像美国地铁的快慢线地铁一样,快线的地铁只在几个站停顿,而慢线会在所有站停顿,乘客可以先乘快线到一个最接近目的地的前一个站,再转乘慢线到达该地
那么问题来了?
如何建表L1和 L2呢?L2无疑是一条包含所有结点的单向链表,那么L1应该设置多少个结点最为合理呢,直观上感受L1应该是均匀分布最好,那么是以怎样的密度分布最合适呢?
我们不难得出查找时间上界为|L1|+|L2|/|L1|+换乘的常数,这里|L1|表示L1的长度(最坏情况就是L1走到末端后,走回一个节点然后进入L2,因为L2可以看做被L1分成了L1个段,所以每段长度为|L2|/|L1|,所以为|L1|+|L2|/|L1|+换乘的常数),因为L2长度为n(包括整个链表),换乘即链表L1向下走到L2的时间,为常数,所以我们的目标是要使得|L1|+n/|L1|最小,即|L1|为sqrt(n)时最优(可以求导得出或者通过其他数学方法,证明略),此时时间消耗为2*sqrt(n),即每隔sqrt(n)设立一个快表的结点,共sqrt(n)个快表结点
什么?sqrt(n)还不过瘾?
那么我们还能做怎样的优化呢?答案是加更多的链表,我们看看三条链表应是多少,直觉告诉我们是3*n的1/3次方
其实,可以证明k条链表的时候为k*n的1/k次方
因为n是常数,那么k多大比较合适呢?lgn! 让我们看看k取lgn的时候为多少,即lgn*n^(1/lgn)为多少,即求lgn*n^logn(2),还记得我们计算递归时间复杂度时的换底公式吗?这里n^logn(2)即2^logn(n)即2^1,即2,所以整个时间复杂度为2*lgn,这是一个非常好的性能。
这种情况下的跳跃表称为理想跳跃表,每一层数量减少一半,总共lgn层链表,从最上级链表开始搜,搜不到就向下,最多下logn层,每层最多搜2个元素,所以搜索复杂度为O(2lgn)
那么问题又来了,如何动态维护这样一个跳跃表呢?
先看删除功能,删除功能只要从上级链表搜到之后,就可以直接删除,并向下将所有链表的该结点都删除,这个比较简单,那么插入呢?
插入(x) 先search(x)在底表的位置然后插入该元素,是否结束了呢?不,因为在某一段连续插入若干个结点后,这一段会变得非常长,整个跳跃表的平衡结构无疑会被打破,那么如何维护理想线段表的结构呢?
1.保持每段之间的理想距离,如果距离过大,就从中间分割,然后将中点上升一层结点
这个方法从直观上看非常巧妙,但是实行起来却有一定难度,因为你必须实时记录每一段的长度
2.采用我们最喜欢的随机化算法,抛硬币 如果正面,就把这个结点提升一个level(即把该结点也加入上一级的链表中),再抛硬币(看是否持续提升level),因为两个相邻链表的长度之比为1:2,而硬币出正面的概率也是50%,事实证明这样做是可行的,这里值得一提的是,老师在这节课发了两个硬币给同学,一个利用抛硬币产生随机数,一个利用抛硬币决定当前插入结点是否需要提升level,在课堂上直接做起了实验,整个课程氛围也很好,也让同学们都对该算法有了直观的理解,这一种教学方式很值得借鉴
注意,这里需要考虑一个特殊情况,就是当我们插入的元素为最小的元素时,如果它没有提升一个level,那么上级链表的开头就不是第一个元素,这样也会打乱整个跳跃表的理想结构,因此我们需要打个补丁:即把一个负无穷值插到所有链表头,这样就算插入了一个最小的元素也能保证每个表是以负无穷开始,即每个链表都可以从最左边开始。
在课堂上,通过实验表明算法2似乎在平均情况下可以得到一个很好的跳跃表,其实不仅仅是平均情况可以得到一个好的跳跃表,在绝大多数情况都可以得到一个好的跳跃表.
可以证明,得到一个好的跳跃表的概率P>=1-O(1/n^a) 这里a是一个介于0到1的参数,与n有关,在课堂的最后,老师花了尽20分钟的时间来证明,具体证明方式我们这里略过(其实是我根本没看懂其证明过程 逃~~)