一、定义
一些定义：
- 节点之间的路径长度：在树中从一个结点到另一个结点所经历的分支，构成了这两个结点间的路径上的经过的分支数称为它的路径长度
- 树的路径长度：从树的根节点到树中每一结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。
- 结点的权：在一些应用中，赋予树中结点的一个有某种意义的实数。
- 结点的带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积。
- 树的带权路径长度(Weighted Path Length of Tree：WPL)：定义为树中所有叶子结点的带权路径长度之和
如下面的二叉树，叶子节点的权值分别为5、6、2、4、7，的带权路径长度计算：
- 最优二叉树：从已给出的目标带权结点(单独的结点) 经过一种方式的组合形成一棵树.使树的权值最小.。最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树。根据结点的个数，权值的不同，最优二叉树的形状也各不相同。它们的共同点是：带权值的结点都是叶子结点。权值越小的结点，其到根结点的路径越长。
如，给定4个叶子结点a，b，c和d，分别带权7，5，2和4。构造如下图所示的三棵二叉树(还有许多棵)，它们的带权路径长度分别为：
(a)WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
(b)WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46
(c)WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
其中(c)树的WPL最小，可以验证，它就是哈夫曼树。
注意：
① 叶子上的权值均相同时，完全二叉树一定是最优二叉树，否则完全二叉树不一定是最优二叉树。
② 最优二叉树中，权越大的叶子离根越近。
③ 最优二叉树的形态不唯一，WPL最小。
二、构造哈夫曼树
1） 根据给定的n个权值｛w1， w2， w3， w4......wn｝构成n棵二叉树的森林 F=｛T1 ， T2 ， T3.....Tn｝，其中每棵二叉树只有一个权值为wi 的根节点，其左右子树都为空；
2） 在森林F中选择两棵根节点的权值最小的二叉树，作为一棵新的二叉树的左右子树，且令新的二叉树的根节点的权值为其左右子树的权值和；
3）从F中删除被选中的那两棵子树，并且把构成的新的二叉树加到F森林中；
4）重复2 ，3 操作，直到森林只含有一棵二叉树为止，此时得到的这棵二叉树就是哈夫曼树。
构造过程如下图：
三、Java实现
对指定节点创建哈夫曼树：
package com.liuhao.DataStructures;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;
public class HuffmanTree {
public static class Node<E> {
E data;
double weight;
Node leftChild;
Node rightChild;
public Node(E data, double weight) {
super();
this.data = data;
this.weight = weight;
}
public String toString() {
return "Node[data=" + data + ", weight=" + weight + "]";
}
}
public static void main(String[] args) {
List<Node> nodes = new ArrayList<Node>();
nodes.add(new Node("A", 40.0));
nodes.add(new Node("B", 8.0));
nodes.add(new Node("C", 10.0));
nodes.add(new Node("D", 30.0));
nodes.add(new Node("E", 10.0));
nodes.add(new Node("F", 2.0));
Node root = HuffmanTree.createTree(nodes);
System.out.println(breadthFirst(root));
}
/**
* 构造哈夫曼树
*
* @param nodes
* 节点集合
* @return 构造出来的哈夫曼树的根节点
*/
private static Node createTree(List<Node> nodes) {
// 只要nodes数组中还有2个以上的节点
while (nodes.size() > 1) {
quickSort(nodes);
//获取权值最小的两个节点
Node left = nodes.get(nodes.size()-1);
Node right = nodes.get(nodes.size()-2);
//生成新节点，新节点的权值为两个子节点的权值之和
Node parent = new Node(null, left.weight + right.weight);
//让新节点作为两个权值最小节点的父节点
parent.leftChild = left;
parent.rightChild = right;
//删除权值最小的两个节点
nodes.remove(nodes.size()-1);
nodes.remove(nodes.size()-1);
//将新节点加入到集合中
nodes.add(parent);
}
return nodes.get(0);
}
/**
* 将指定集合中的i和j索引处的元素交换
*
* @param nodes
* @param i
* @param j
*/
private static void swap(List<Node> nodes, int i, int j) {
Node tmp;
tmp = nodes.get(i);
nodes.set(i, nodes.get(j));
nodes.set(j, tmp);
}
/**
* 实现快速排序算法，用于对节点进行排序
*
* @param nodes
* @param start
* @param end
*/
private static void subSort(List<Node> nodes, int start, int end) {
if (start < end) {
// 以第一个元素作为分界值
Node base = nodes.get(start);
// i从左边搜索，搜索大于分界值的元素的索引
int i = start;
// j从右边开始搜索，搜索小于分界值的元素的索引
int j = end + 1;
while (true) {
// 找到大于分界值的元素的索引，或者i已经到了end处
while (i < end && nodes.get(++i).weight >= base.weight)
;
// 找到小于分界值的元素的索引，或者j已经到了start处
while (j > start && nodes.get(--j).weight <= base.weight)
;
if (i < j) {
swap(nodes, i, j);
} else {
break;
}
}
swap(nodes, start, j);
//递归左边子序列
subSort(nodes, start, j - 1);
//递归右边子序列
subSort(nodes, j + 1, end);
}
}
public static void quickSort(List<Node> nodes){
subSort(nodes, 0, nodes.size()-1);
}
//广度优先遍历
public static List<Node> breadthFirst(Node root){
Queue<Node> queue = new ArrayDeque<Node>();
List<Node> list = new ArrayList<Node>();
if(root!=null){
//将根元素加入“队列”
queue.offer(root);
}
while(!queue.isEmpty()){
//将该队列的“队尾”元素加入到list中
list.add(queue.peek());
Node p = queue.poll();
//如果左子节点不为null，将它加入到队列
if(p.leftChild != null){
queue.offer(p.leftChild);
}
//如果右子节点不为null，将它加入到队列
if(p.rightChild != null){
queue.offer(p.rightChild);
}
}
return list;
}
}
以上代码中的关键步骤包括：
（1）对list集合中所有节点进行排序；
（2）找出list集合中权值最小的两个节点；
（3）以权值最小的两个节点作为子节点创建新节点；
（4）从list集合中删除权值最小的两个节点，将新节点添加到list集合中
程序采用循环不断地执行上面的步骤，直到list集合中只剩下一个节点，最后剩下的这个节点就是哈夫曼树的根节点
四、哈夫曼编码
根据哈夫曼树可以解决报文编码的问题。假设需要把一个字符串，如“abcdabcaba”进行编码，将它转换为唯一的二进制码，但是要求转换出来的二进制码的长度最小。
假设每个字符在字符串中出现频率为W，其编码长度为L，编码字符n个，则编码后二进制码的总长度为W1L1+W2L2+…+WnLn，这恰好是哈夫曼树的处理原则。因此可以采用哈夫曼树的构造原理进行二进制编码，从而使得电文长度最短。
对于“abcdabcaba”，共有a、b、c、d4个字符，出现次数分别为4、3、2、1,相当于它们的权值，将a、b、c、d以出现次数为权值构造哈夫曼树，得到下左图的结果。
从哈夫曼树根节点开始，对左子树分配代码“0”，对右子树分配“1”，一直到达叶子节点。然后，将从树根沿着每条路径到达叶子节点的代码排列起来，便得到每个叶子节点的哈夫曼编码，如下右图。
从图中可以看出，a、b、c、d对应的编码分别为0、10、110、111，然后将字符串“abcdabcaba”转换为对应的二进制码就是0101101110101100100，长度仅为19。这也就是最短二进制编码，也称为哈夫曼编码。
哈夫曼树（最优二叉树）及其Java实现