【基础练习】【数论/模拟】codevs1670 无穷的序列题解

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题目:

题目描述 Description

有一个无穷序列如下: 110100100010000100000… 请你找出这个无穷序列中指定位置上的数字

输入描述 Input Description

第一行一个正整数N,表示询问次数; 接下来的N行每行一个正整数Ai,Ai表示在序列中的位置。

输出描述 Output Description

N行,每行为0或1,表示序列第Ai位上的数字。

样例输入 Sample Input

4

3

14

7

6

样例输出 Sample Output

0

0

1

0

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据范围】 对于100%的数据有N≤1500000,Ai≤10^9

我们观察序列,发现这个序列可以分为很多组,每一组为1和很多0 0的个数取决于他前面的1是第几个1

这道题目有好多做法,看数据规模,单个查询必须是O(1)的时间 但本体数据相当弱= =

先放上我自己的做法,和题解里一位同学是相似的,用模拟。

刚开始想的是存储每个位置上的数字直接查表,但显然空间不足。256M可以开一亿的数组,但本题需要十亿= =

所以改为用数组f[i]表示第i个1的位置 这样只需要五万左右 五万平方就是二十五亿了

之后对于每个询问查找有没有i使得f[i]==x即可

查找可以优化,优化为二分,还有更快的,利用每个1的位置都是n*(n+1)/2 将查找范围缩小为几个数

但是我的优化失败了= =好在数据很弱,从1到maxn查找就可以过

上代码

显然此题还有更多更好的做法,我来总结一下:

1.里奥的做法,直接解方程n*(n+1)/2=x的整数解 如果有就是1 否则是0

2.这种方法我不大理解

”判断8*a-7是否为完全平方数即可

即是否trunc(sqrt(8*a-7))=sqrt(8*a-7)“

3.一种数论方法:

只要求出距离k最近的1所在位置即可

不难发现  每一个出现1位置都符合n*(n+1)/2+1,于是进行以下推导:

设k=n*(n+1)/2(n为最近的1所在位置,k为询问的位数

则有2*k=n*(n+1)

可见n=trunc(sqrt(n*(n+1)))=trunc(sqrt(2*k))

求出n后只要判断k是否等于n*(n+1)/2+1即可

t:=trunc(sqrt(2*k));

if k<>(t*t+t) div 2+1 then

ans[i]:=0

else

ans[i]:=1;

有的地方不大懂 尤其是取整这里 trunc是去尾

4.另一种数论 与上方类似,但也有一段不大理解

假设我们遇到了一个输入n,并假设它处于第m组。

于是:0.5*(m-1)*m<n<=0.5*m*(m+1)

上式乘2,得到:m*(m-1)<2n<=m*(m+1)

放缩,得到:(m-1)*(m-1)<2n<(m+1)*(m+1)

这样,我们就只需要将2n开方再取整,那么得到的数字要么是m,要么是m-1,进行一下判断就可以轻松的求解出m

而m正好就是n在的组数!

这样,我们就用O(1)的方法求出了n在的组数。秒杀掉此题。

好吧,膜拜上面诸大神,题解多来自codevs

于是这道题就这么结束了 下午还是要加油啊

——溪云初起日沉阁,山雨欲来风满楼。

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时间: 2024-10-30 04:33:20

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