【算法】验证哥德巴赫猜想

问题来源

Timus Online Judge 网站上有这么一道题目：1356.
Something Easier。这道题目的输入是一组 2 到 10⁹ 之间整数，对于每个输入的整数，要求用最少个数的素数的和来表示。这道题目的时间限制是 1 秒。

问题解答

我们知道著名的哥德巴赫猜想是：

任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和

于是我们有以下的 C 语言程序(1356.c)：

100

101

102

103

104

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106

107

108

109

110

// http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1356

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <time.h>

// http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

#define PRIME_MAX 10000

#define PRIME_COUNT 1229

typedef unsigned long long U8;

typedef char bool;

const bool true = 1;

const bool false = 0;

// http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Eratosthenes

bool* getSieve(int max)

{

static bool sieve[(PRIME_MAX >> 1) + 1];

int i, j, imax = sqrt(max);

for (i = 3; i <= imax; i += 2)

if (!sieve[i >> 1])

for (j = i * i; j <= max; j += i << 1) sieve[j >> 1] = true;

return sieve;

}

int* getPrimes(int max)

{

static int primes[PRIME_COUNT + 1];

bool *sieve = getSieve(max);

int i, j = 0;

for (primes[j++] = 2, i = 3; i <= max; i += 2)

if (!sieve[i >> 1]) primes[j++] = i;

return primes;

}

U8 modMultiply(U8 a, U8 b, U8 m)

{

return a * b % m;

}

U8 modPow(U8 a, U8 b, U8 m)

{

U8 v = 1, p;

for (p = a % m; b > 0; b >>= 1, p = modMultiply(p, p, m))

if (b & 1) v = modMultiply(v, p, m);

return v;

}

bool witness(U8 a, U8 n)

{

U8 n1 = n - 1, s2 = n1 & -n1, x = modPow(a, n1 / s2, n);

if (x == 1 || x == n1) return false;

for (; s2 > 1; s2 >>= 1)

{

x = modMultiply(x, x, n);

if (x == 1) return true;

if (x == n1) return false;

}

return true;

}

U8 random(U8 high)

{

// http://www.cppreference.com/wiki/c/other/rand

return (U8)(high * (rand() / (double)RAND_MAX));

}

// http://en.wikipedia.org/wiki/Miller-Rabin_primality_test

// n, an integer to be tested for primality

// k, a parameter that determines the accuracy of the test

bool probablyPrime(U8 n, int k)

{

if (n == 2 || n == 3) return 1;

if (n < 2 || n % 2 == 0) return 0;

while (k-- > 0) if (witness(random(n - 3) + 2, n)) return false;

return true;

}

bool isPrime(int n)

{

return probablyPrime(n, 2);

}

int outEven(int primes[], int n)

{

int i, p, q;

for (i = 0; (p = primes[i]) != 0; i++)

if (isPrime(q = n - p))

return printf("%d %d", p, q);

return printf("error:%d", n);

}

int main(void)

{

int t, n, *primes = getPrimes(PRIME_MAX);

srand(time(NULL));

scanf("%d", &t);

while (t-- > 0)

{

scanf("%d", &n);

if (isPrime(n)) printf("%d", n);

else if ((n & 1) == 0) outEven(primes, n);

else if (isPrime(n - 2)) printf("2 %d", n - 2);

else printf("3 "), outEven(primes, n - 3);

puts("");

}

return 0;

}

上述程序分析如下：

根据哥德巴赫猜想，充分大的偶数 n = p + q，这里 p <= q 是素数。我们猜测当 n <= 10⁹ 时，p < 10⁴。第 8 行就是定义 p 的最大值。
根据素数定理，我们知道 10⁴ 以内的素数有 1229 个。第 9 行就是定义程序中要用到的素数的个数。
第 17 到 26 行的 getSieve 函数用埃拉托斯特尼筛法筛选出素数。
第 28 到 36 行的 getPrimes 函数从筛中取出这些素数。
第 38 到 79 行的一系列函数最终是为了 probablyPrime 函数，用于检测素数。请参见我在2010年7月写的随笔：【算法】米勒-拉宾素性检验。
第 81 到 84 行的 isPrime 函数调用 probablyPrime 函数来检测素数。
第 86 到 93 行的 outEven 函数对大于 2 的偶数验证哥德巴赫猜想，即输出一对素数 p 和 q。
第 95 到 110 行是 main 函数。其中：
第 103 行处理 n 是素数的情况，直接输出该素数(包括素数 2，所以 outEven 函数处理的偶数肯定大于 2)。
第 104 行对大于 2 的偶数输出一对素数(通过调用 outEven 函数，强哥德巴赫猜想)。
第 105 行处理大于 5 的奇数能够分解为 2 和另外一个素数的和的情况(注意不要遗漏这个情形!)。
第 106 行处理大于 5 的奇数的其他情况，首先输出一个 3，然后调用 outEven 函数处理偶数 n - 3 (弱哥德巴赫猜想)。

上述程序在 Timus Online Judge 网站的运行时间是 0.015 秒。

时间： 2024-11-09 08:01:37

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