dp-最优矩阵链乘

来自于紫书

题目大意

有\(n\)个矩阵组成的序列，设计一种运算顺序把它们依次乘起来，使得总运算量最小。假设第i个矩阵\(A_i\)是\(P_{i-1} \times P_i\)的。（\(n<=100\)）

例如：假设\(A\)、\(B\)、\(C\)分别是\(1 \times 50 , 50 \times 20 , 20 \times 5\)

\(A \times (B \times C)\)的运算量为\(1 \times 50 \times 5 + (50 \times 20 \times 5) = 5250\)

\((A \times B) \times C\)的运算量为\((1 \times 50 \times 20) + 1 \times 20 \times 5 = 1100\)

显然后者更优

解法

最后一次乘时整个矩阵序列一定是被分成两半，假设分界点是\(k\)

即\(L = A_1 \times A_2 \times ... \times A_k\)，\(R = A_{k+1} \times A_{k+1} \times ... \times A_n\)

无论\(L\)和\(R\)的内部怎样乘，最后\(L \times R\)的运算量都是不变的

故可以让\(L\)和\(R\)按各自最优方案计算，最后再加上\(L \times R\)的运算量即可

所以可以设\(f(i,j)\)表示第\(i\)个矩阵到第\(j\)个矩阵乘起来所需的最少的运算量，转移方程为：

\(f(i,j) = min\{ f(i,k) + f(k+1,j) + P_{i-1} \times P_k \times P_j \} \ ( i <= k < j)\)

边界\(f(i,i) = 0\)，因为转移方程中\(k >= i\)，\(k < j\)，所以\(dp\)的顺序为\(i\)递减，\(j\)递增

模板题：Poj-1651 Multiplication Puzzle

如果没看过矩阵链乘题目的话，估计一时半会还想不出这道题

原文地址：https://www.cnblogs.com/smsylby/p/12003936.html