最长递增子序列（输出最长递增序列 及其长度）

最长递增子序列的解法有很多种，常用的有最长公共子序列法、动态规划、记录所有递增序列长度最大值的方法。

最长公共子序列法：如例子中的数组A{5，6， 7， 1， 2， 8}，则我们排序该数组得到数组A‘{1， 2， 5， 6， 7， 8}，然后找出数组A和A’的最长公共子序列即可。显然这里最长公共子序列为{5, 6, 7, 8}，也就是原数组A最长递增子序列。

在http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630中有详细解释。

动态规划：参见http://qiemengdao.iteye.com/blog/1660229

这里主要介绍第三种方法：时间复杂度O(n lgn)

维护一个数组MaxV[i]，记录所有长度为i的递增子序列中最大元素的最小值。
思路：遍历数组，如果数组中该元素a[k]大于MaxV[len-1]的值，直接len++，MaxV[len]=a[k]；

　　　否则从MaxV中从后向前，找到第一个比a[k]大的值的索引j，并将MaxV[j]更新为a[k]（即长度为j的递增序列最大值的最小值应为a[k]），查找过程可以使用二分搜索。

　　为了记录最大递增序列，我们使用maxIndex记录其索引，注意需要初始化maxIndex[0]=0；在a[k]>MaxV[len-1] 和 a[k]<MaxV[len-1]&&pos==len-1时，都需要更新maxIndex的值。

所以博客http://blog.csdn.net/imzoer/article/details/8100064的解法是有问题的，这里已经更正。

 1 //修改后的二分搜索，返回从后向前，第一个比target大的索引
 2 int bsearch(int *a, int s, int e,int target)
 3 {
 4     while(s<=e)
 5     {
 6         int mid = s +(e-s)/2;
 7         if(a[mid]<=target)
 8         {
 9             s=mid+1;
10         }
11         else
12         {
13             e = mid-1;
14         }
15     }
16     return s;
17 }
18 int getMaxSub(int *a, int n)
19 {
20     int *maxIndex = new int[n];
21     int *maxV = new int[n];
22     int len =1;
23     maxV[0] = a[0];
24     maxIndex[0]=0;
25     for(int i=1; i <n; i++)
26     {
27         if(a[i]>maxV[len-1])
28         {
29             maxV[len]=a[i];
30             maxIndex[len]=i;
31             len++;
32         }
33         else
34         {
35             int pos = bsearch(a,0,len-1,a[i]);
36             maxV[pos]= a[i];
37             if(pos == len-1)
38                 maxIndex[pos]=i;
39         }
40     }
41     for(int i=0;i<len;i++)
42     {
43         printf("%d\t",a[maxIndex[i]]);
44     }
45     printf("\n");
46     return len;
47 }
48 int main()
49 {
50
51
52     int a[]={
53         7,5,4,2,3,5,6,1,5,8,9,10
54     };
55     int b[]={
56         1, 5, 8, 3, 6, 7, 2, 9
57     };
58     printf("The array is :\n");
59     for(int i=0;i<12;i++)
60     {
61         printf("%d\t",a[i]);
62     }
63     printf("\nThe max ascending array is:\n");
64     printf("The length of max ascending array is :%d\n",getMaxSub(a,12));
65     //getMaxSub(b,8);
66
67 }