计算方法-C语言二分法求根

问题：

给出方程f(x) = x^3+10x-20,求该方程在（1，2）上的根，其精度不小于10^-4

看似很简单的一个小问题，其实有很有细节值得注意，先给出代码

方法一：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x)
{
    return x*x*x+10*x-20;
}

int main()
{
    double l,r,mid,ans;
    l = 1;
    r = 2;
    while(1) {
        mid = (l+r)/2;
        double cnt = f(mid);
        if(fabs(cnt) <= 0.0001) {
            ans = mid;
            printf("%lf\n",cnt);
            break;
        }
        if(cnt > 0) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%.4lf\n",ans);
    return 0;
} 

方法二：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

double ans;

double f(double x)
{
    return x*x*x+10*x-20;
}

void m(double l,double r)
{
    double mid = (l+r)/2;
    double cnt = f(mid);
    if(fabs(cnt) <= 1e-4) {
        ans = mid;
        return ;
    }
    if(cnt > 0) m(l,mid);
    else m(mid,r);
}

int main()
{
    m(1,2);
    printf("%.4lf\n",ans);
    return 0;
} 

两种方法没有本质上的区别，算法实质是一样的，只是在程序实现手段上稍有不同，方法一用的循环，而方法二用的递归。

有这么几点需要注意

（1）如何确定精度小于1e-4？

首先我们要想明白，我们要确定的是“根”的精度，即让f(ans)=0的那个ans的计算值和真理值得差不大于1e-4，我们不知道所谓的真理值是多少，但是我们能确认他的函数值，即0，因此这个问题就转化成了我们计算得到的值ans的函数值f(ans)与0的绝对值差要不大于1e-4，因而我们就可以每次求出当前的mid即可能中点的值，看看他与0的差距是否小于等于1e-4，如果是，这个mid就是我们最终要求的结果。

（2）关于每次迭代l和r的值的确定，暂时没有发现什么一般性的规则，只是在这道题中，我们可以用图像很直观的表达出来l和r的更替规律

首先很容易可以求出f(x)在定义域上为单调递增，然后在x=1的值是负的，在x=2的值是正的，那么二者之间就必然只有一个根了，因此如果当前求得的f(ans)的值为正数和负数的情况，根据该图，我们都能很清晰的看出来到底该把谁给赋值。