矩阵快速幂是基于普通的快速幂的一种扩展，如果不知道的快速幂的请参见http://www.cnblogs.com/Howe-Young/p/4097277.html。二进制这个东西太神奇了，好多优秀的算法都跟他有关系，这里所说的矩阵快速幂就是把原来普通快速幂的数换成了矩阵而已，只不过重载了一下运算符*就可以了，也就是矩阵的乘法， 当然也可以写成函数，标题中的这三个题都是关于矩阵快速幂的基础题。拿来练习练习熟悉矩阵快速幂，然后再做比较难点的，其实矩阵快速幂比较难的是构造矩阵。下面还是那题目直接说话：
hdu1575：
题目大意：求一个矩阵k此方之后主对角线上的元素之和对9973取模
这个题是矩阵快速幂的裸题，直接用就行了。下面是代码
1 #include<iostream>
2 #include <string.h>
3 #include <stdio.h>
4 #include <algorithm>
5
6 using namespace std;
7 const int N = 11;
8 const int mod = 9973;
9 struct Matrix{
10 int a[N][N];
11 };
12 int n;
13 Matrix operator * (Matrix t1, Matrix t2)//重载运算符 *
14 {
15 Matrix c;
16 memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
17 //矩阵乘法
18 for (int k = 0; k < n; k++)
19 {
20 for (int i = 0; i < n; i++)
21 {
22 if (t1.a[i][k] <= 0)
23 continue;
24 for (int j = 0; j < n; j++)
25 {
26 if (t2.a[k][j] <= 0)
27 continue;
28 c.a[i][j] = (c.a[i][j] + t1.a[i][k] * t2.a[k][j]) % mod;
29 }
30 }
31 }
32 return c;
33 }
34 //重载^运算符
35 Matrix operator ^ (Matrix t, int k)
36 {
37 Matrix c;
38 memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
39 //初始化矩阵c为单位阵
40 for (int i = 0; i < n; i++)
41 {
42 c.a[i][i] = 1;
43 }
44 //这里用到快速幂
45 for (; k; k >>= 1)
46 {
47 if (k & 1)
48 c = c * t;
49 t = t * t;
50 }
51 return c;
52 }
53 int main()
54 {
55 int T, k;
56 cin >> T;
57 while (T--)
58 {
59 cin >> n >> k;
60 Matrix t1, t2;
61 for (int i = 0; i < n; i++)
62 {
63 for (int j = 0; j < n; j++)
64 cin >> t1.a[i][j];
65 }
66 t2 = t1 ^ k;
67 int res = 0;
68 for (int i = 0; i < n; i++)
69 res = (res + t2.a[i][i]) % mod;
70 cout << res << endl;
71 }
72
73 return 0;
74 }
hdu1005：
题目大意：
f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.
给你A， B和n让你求f(n)是多少
这个题就需要稍微构造一下矩阵了
这样的话要求F(n)的话，只需要对求出来F(n-1)就行了，对应的F(n-1)要求出F(n-2)，所以题目给了F(1)和F(2)，所以乘以他前面的系数矩阵就为【F(3), F(2)】T,再接着成系数矩阵就为【F(4)，F(3)】T所以要求F(n)只需要对系数矩阵进行n-2次幂就行了，然后最后要求的结果就是矩阵的第一行第一列的结果，代码如下
1 #include<iostream>
2 #include <cstring>
3 #include <cstdio>
4 #include <algorithm>
5
6 using namespace std;
7 const int N = 2;
8 const int mod = 7;
9 struct Matrix
10 {
11 int mat[N][N];
12 };
13 //矩阵乘法(函数的形式)
14 Matrix Multi(Matrix a, Matrix b)
15 {
16 Matrix c;
17 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
18 for (int i = 0; i < N; i++)
19 {
20 for (int j = 0; j < N; j++)
21 {
22 for (int k = 0; k < N; k++)
23 c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
24 }
25 }
26 return c;
27 }
28 //矩阵快速幂 （函数形式）
29 Matrix quickMatrixPower(Matrix a, int k)
30 {
31 Matrix t;
32 memset(t.mat, 0, sizeof(t.mat));
33 for (int i = 0; i < N; i++)
34 t.mat[i][i] = 1;
35 //快速幂
36 while (k)
37 {
38 if (k & 1)
39 t = Multi(t, a);
40 a = Multi(a, a);
41 k >>= 1;
42 }
43 return t;
44 }
45
46 int main()
47 {
48 long long a, b, n;
49 while (cin >> a >> b >> n && (a + b + n))
50 {
51 Matrix t;
52 //初始化系数矩阵
53 t.mat[0][0] = a;
54 t.mat[0][1] = b;
55 t.mat[1][0] = 1;
56 t.mat[1][1] = 0;
57 if (n >= 3)
58 {
59 t = quickMatrixPower(t, n - 2);
60 printf("%d\n", (t.mat[0][0] + t.mat[0][1]) % mod);
61 }
62 else
63 {
64 printf("%lld\n", n);
65 }
66 }
67
68
69 return 0;
70 }
hdu1757
题目大意：
If x < 10 f(x) = x.
If x >= 10 f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10);
And ai(0<=i<=9) can only be 0 or 1 .
Now, I will give a0 ~ a9 and two positive integers k and m ,and could you help Lele to caculate f(k)%m.
这个关键还是在于构造矩阵，因为给递推式了，所以矩阵还是比价好构造的，下图是构造的矩阵
推到过程类似于1005，不再赘述，代码如下：
1 #include<iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cstring>
4 #include <algorithm>
5
6 using namespace std;
7 const int ori[1][10] = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0};
8 struct Matrix
9 {
10 int str[10][10];
11 };
12 int m;
13 //矩阵乘法
14 Matrix operator * (Matrix a, Matrix b)
15 {
16 Matrix c;
17 memset(c.str, 0, sizeof(c.str));
18 for (int i = 0; i < 10; i++)
19 {
20 for (int j = 0; j < 10; j++)
21 {
22 for (int k = 0; k < 10; k++)
23 c.str[i][j] = (c.str[i][j] + a.str[i][k] * b.str[k][j]) % m;
24 }
25 }
26 return c;
27 }
28 //矩阵快速幂
29 Matrix power (Matrix a, int k)
30 {
31 Matrix c;
32 memset(c.str, 0, sizeof(c.str));
33 for (int i = 0; i < 10; i++)
34 c.str[i][i] = 1;
35 while (k)
36 {
37 if (k & 1)
38 c = c * a;
39 a = a * a;
40 k >>= 1;
41 }
42 return c;
43 }
44 //最后一步的矩阵乘法
45 int Multi(Matrix a)
46 {
47 Matrix c;
48 memset(c.str, 0, sizeof(c.str));
49 for (int i = 0; i < 1; i++)
50 {
51 for (int j = 0; j < 10; j++)
52 {
53 for (int k = 0; k < 10; k++)
54 {
55 c.str[i][j] = (c.str[i][j] + ori[i][k] * a.str[k][j]) % m;
56 }
57 }
58 }
59 return c.str[0][0] % m;
60 }
61 int main()
62 {
63 int k;
64 while (cin >> k >> m)
65 {
66 Matrix t;
67 memset(t.str, 0, sizeof(t.str));
68 for (int i = 0; i < 10; i++)
69 {
70 cin >> t.str[i][0];
71 for (int j = 0; j < 10; j++)
72 if (i + 1 == j)
73 t.str[i][j] = 1;
74 }
75 if (k >= 10)
76 {
77 t = power(t, k - 9);
78 printf("%d\n", Multi(t));
79 }
80 else
81 {
82 printf("%d\n", k);
83 }
84 }
85
86 return 0;
87 }
时间： 2024-10-28 01:52:26