平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。
平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的（学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树），区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡，维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好，不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树，重点是平衡二叉树的核心部分，也就是旋转算法。
第一步：节点信息
相对于二叉查找树的节点来说，我们需要用一个属性二叉树的高度，目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。
代码如下：
//AVL树节点信息
1 class tnode
2 {
3 public:
4 int val;
5 int hgt;
6 int freq;
7 tnode* pleft;
8 tnode* pright;
9 tnode(int v):val(v),hgt(0),freq(1),pleft(NULL),pright(NULL){};
10 tnode():val(0x7fffffff),hgt(0),freq(1),pleft(NULL),pright(NULL){};
11
12 };
第二步：声明头结点
tnode *head;
第三步：两个辅助方法
旋转算法需要借助于两个功能的辅助，一个是求树的高度，一个是求两个高度的最大值。这里规定，一棵空树的高度为-1，只有一个根节点的树的高度为0，以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况，写了一个求高度的函数，这个函数还是很有必要的。
代码如下：
//计算以节点为根的树的高度
1 int height(tnode *t)
2 {
3 if(t)
4 return t->hgt;
5 else
6 return -1;
7 }
第四步：旋转
对于一个平衡的节点，由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，此节点的两颗子树的高度差2.容易看出，这种不平衡出现在下面四种情况：
1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2，左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点，这种情况成为左左。
2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2，左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点，这种情况成为左右。
3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2，右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点，这种情况成为右左。
4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2，右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点，这种情况成为右右。
从图2中可以可以看出，1和4两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，我们称之为双旋转。
第五步：单旋转
单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案，这两种情况是对称的，只要解决了左左这种情况，右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案，节点k2不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的左子树X子树，所以属于左左情况。
为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。
这样的操作只需要一部分指针改变，结果我们得到另外一颗二叉查找树，它是一棵AVL树，因为X向上一移动了一层，Y还停留在原来的层面上，Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同，插入操作使得X高度长高了。因此，由于这颗子树高度没有变化，所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。
代码如下：
1 //左左旋转
2 void LLRotate(tnode *&tree)
3 {
4 tnode *tmp;
5 tmp = tree->pleft;
6 tree->pleft = tmp->pright;
7 tmp->pright = tree;
8
9 tree->hgt=max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;
10 tmp->hgt= max(height(tmp->pleft),tree->hgt)+1;
11 //
12 tree = tmp;
13 }
14
15 //右右旋转
16 void RRRotate(tnode *&tree)
17 {
18 tnode *tmp;
19 tmp = tree->pright;
20 tree->pright=tmp->pleft;
21 tmp->pleft=tree;
22
23 tree->hgt=max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;
24 tmp->hgt= max(height(tmp->pleft),tree->hgt)+1;
25
26 tree = tmp;
27 }
第六步：双旋转
对于左右和右左这两种情况，单旋转不能使它达到一个平衡状态，要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案，同样的，这样两种情况也是对称的，只要解决了左右这种情况，右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案，节点k3不满足平衡特性，因为它的左子树k1比右子树Z深2层，而且k1子树中，更深的一层的是k1的右子树k2子树，所以属于左右情况。
为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。
代码如下：
1 //左右旋转
2 void LRRotate(tnode *&tree)
3 {
4 RRRotate(tree->pleft);
5 LLRotate(tree);
6 }
7
8 //右左旋转
9 void RLRotate(tnode *&tree)
10 {
11 LLRotate(tree->pright);
12 RRRotate(tree);
13 }
第七步：插入
插入的方法和二叉查找树基本一样，区别是，插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。
代码如下：
//插入
1 void insert(tnode *&tree,int v)
2 {
3 if(tree == NULL)
4 {
5 tree = new tnode(v);
6 return;
7 }
8 if(tree->val > v)
9 {
10 insert(tree->pleft,v);
11 if(2 == height(tree->pleft)-height(tree->pright))
12 {
13 if(v<tree->pleft->val)
14 LLRotate(tree);
15 else
16 LRRotate(tree);
17 }
18 }
19 else if(tree->val < v)
20 {
21 insert(tree->pright,v);
22 if( 2 == height(tree->pright)-height(tree->pleft))
23 {
24 if(v > tree->pright->val)
25 RRRotate(tree);
26 else
27 RLRotate(tree);
28 }
29 }
30 else
31 (tree->freq)++;
32
33 tree->hgt = max(height(tree->pleft),height(tree->pright))+1;
34 }
第八步：中序遍历
代码如下：
//中序遍历函数
1 void inOrder(tnode *tree)
2 {
3 if(tree == NULL)return;
4 inOrder(tree->pleft);
5 // printf("%d\t",tree->val);
6 printf("num:%d\thgt:%d\t",tree->val,tree->hgt);
7 inOrder(tree->pright);
8 }
第十一步：关于效率
此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN)，但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间，有时旋转过多也会影响效率。
关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入，查找和删除，而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多，但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难，所以我还是选择了递归的方法。
还有一种效率的问题是关于高度信息的存储，由于我们需要的仅仅是高度的差，不需要知道这棵树的高度，所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算，可以稍微的加快一些速度，不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话，这种微加速就更显得微乎其微了。
由于原文在左旋右旋函数中忘记更新父类节点的指向、插入函数中节点高度的计算忘记+1；本文对其内容介绍摘抄过来，但是修正了相应的函数。
摘自：http://www.cppblog.com/cxiaojia/archive/2014/03/02/187776.html
数据结构快速回顾——平衡二叉树 AVL （转）