动规(LIS)-POJ-2533

http://poj.org/problem?id=2533

Longest Ordered Subsequence

给定ｎ个正整数，求最长上升子序列（LIS）长度（子序列中的元素不要求连续）.

解题报告

思路

经典的LIS问题，O(n^2)的朴素做法不多作介绍，仅仅介绍O(n logn)的做法。

对于n个元素的数组array，建立一个数组d[n]。

其中d[i]表示长度为i的子序列中最小的末尾元素为d[i]。

数组d显然是升序的，可用反证法证明：

假设存在d[i]>=d[j]且i<j。

那么由于i<j，那么在d[j]结尾的子序列中，必然存在某个值array[k]<d[j]<=d[i]，使得以array[k]结尾的LIS长度为i，因而与假设矛盾。

根据d数组的升序性质，可以循环遍历array数组：

对于遍历到的array[i]，在d数组中二分查找最后一个小于array[i]的元素d[k]，那么以array[i]结尾的LIS的长度则为k+1。同时更新d数组。

那么时间复杂度就为O(n logn)

代码

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int maxn = 1003;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int minNum[maxn];
int n;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    while (cin >> n) {
        memset(minNum, INF, sizeof(minNum));
        minNum[0] = -1;

        int num, len, ans = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> num;
            len = lower_bound(minNum, minNum + n, num) - minNum;
            if(minNum[len] == num) len--;
            minNum[len] = min(minNum[len], num);
            ans = max(ans, len);
        }

        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}