补坑时间到QAQ
好吧今天讲的是网络流建模与二分图匹配。。。
day3的网络流建模好像说的差不多了、（囧）
那就接着补点吧。。
既然昨天讲了建图思想，那今天就讲讲网络流最重要的技巧：拆点。
拆点，顾名思义，就是把一个状态拆成数个点以满足题目要求。
今天主要围绕一个例题来讲：修车。（虽然是丧题，但是却是网络流算法思想实现的典例）
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题目：
同一时刻有位车主带着他们的爱车来到了汽车维修中心。维修中心共有M位技术人员，不同的技术人员对不同的车进行维修所用的时间是不同的。现在需要安排这M位技术人员所维修的车及顺序，使得顾客平均等待的时间最小。 说明：顾客的等待时间是指从他把车送至维修中心到维修完毕所用的时间。注：（2<=m<=9,1<=n<=60）
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其实我一开始看到这题，我都没看出来这是网络流（真是太弱了）
然后我去网络上看了题解。
首先我们知道一个工人修一辆车就会让其余没有修过车的time增加，所以我们发现如果考虑第i个工人修第j辆车的话，会发现时间是不确定的。
但是如果我们倒着过来计算的话，那么我们就能够计算时间了。
所以我们将n个工人每一个分为m个点，表示第i个工人修倒数第j辆车，然后每一条边的费用就是time*j，表示等待的时间，从S到每一个点连边，从每一个点到T连边，然后我们跑最小费用最大流就好了。
对于费用流不懂的同学们可以去我的博客上看看。（暂时没写，以后补坑）
下面附上例题代码
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
int ans;
int go[200005],tot,S,T,first[200005],next[200005],flow[200005];
int cost[200005],c[200005],edge[200005],from[200005],a[500][500];
int nodes,b[500][500],n,m,op[200005],dis[200005],vis[200005];
int read(){
int t=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<‘0‘||ch>‘9‘){if (ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
while (‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘){t=t*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
return t*f;
}
void insert(int x,int y,int z,int l){
tot++;
go[tot]=y;
next[tot]=first[x];
first[x]=tot;
flow[tot]=z;
cost[tot]=l;
}
void add(int x,int y,int z,int l){
insert(x,y,z,l);op[tot]=tot+1;
insert(y,x,0,-l);op[tot]=tot-1;
}
bool spfa(){
for (int i=0;i<=T;i++) dis[i]=0x3f3f3f3f,vis[i]=0;
dis[S]=0;
int h=1,t=1;
c[1]=S;
while (h<=t){
int now=c[h++];
for (int i=first[now];i;i=next[i]){
int pur=go[i];
if (flow[i]&&dis[pur]>dis[now]+cost[i]){
dis[pur]=dis[now]+cost[i];
from[pur]=now;
edge[pur]=i;
if (vis[pur]) continue;
vis[pur]=1;
c[++t]=pur;
}
}
vis[now]=0;
}
return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
}
void updata(){
int mn=0x7fffffff;
for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
mn=std::min(mn,flow[edge[i]]);
}
for (int i=T;i!=S;i=from[i]){
flow[edge[i]]-=mn;
flow[op[edge[i]]]+=mn;
ans+=mn*cost[edge[i]];
}
}
int main(){
m=read();n=read();
for (int i=1;i<=n;i++){
for (int j=1;j<=m;j++){
a[i][j]=read();
}
}
S=0,T=n*m+n+1;
for (int i=1;i<=n;i++)
add(S,i,1,0);
nodes=n;
for (int i=1;i<=m;i++)
for (int k=1;k<=n;k++)
b[i][k]=++nodes,add(nodes,T,1,0);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=1;k<=n;k++)
add(i,b[j][k],1,k*a[i][j]);
while (spfa()) updata();
double Ans=(double)ans/n;
printf("%.2f\n",Ans);
}
接下来我们讲讲二分图匹配。
二分图匹配就是说有一个二层图，层数不同的两个点之间有一些边，问如何选取一些边，使得一个点只被一条边选中，而且边的个数最多（求最大匹配）
其中最主要的算法就是匈牙利算法，朴素而迅速。
我们上图。
对于这个图我们先选到这一条边
然后我们找到下一个点，发现它连接的一条边的终点已经被选中了，所以我们试着让第一个点重新匹配一个没有被匹配过的节点
然后我们找到第三个节点，发现可以匹配。
当我们找到第四个节点时，发现它所对应的节点没有办法修改匹配，至此匈牙利算法结束，最大匹配为3
而在我们进行匈牙利算法的时候有一些优化可以实现，比如如果一个点已经尝试匹配过，而且失败了，那么我们就不要尝试匹配了。（类似dfs减枝）
下面贴上算法
bool match(int u){
S[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
if(!T[g[i].to]){
T[g[i].to]=1;
if(!lky[g[i].to]||match(lky[g[i].to])){
lky[g[i].to]=u;lkx[u]=g[i].to;return true;
}
}
return false;
}
注：现在起所有的算法如果我没有写例题我都只会列出核心代码，剩下的东西请视情况补充。QAQ