[XJOI]noip43 T2多人背包

多人背包

DD 和好朋友们要去爬山啦！他们一共有 K 个人，每个人都会背一个包。这些包的容量是相同的，都是 V。可以装进背包里的一共有 N 种物品，每种物品都有给定的体积和价值。
在 DD 看来，合理的背包安排方案是这样的：
1. 每个人背包里装的物品的总体积恰等于包的容量。 
2. 每个包里的每种物品最多只有一件，但两个不同的包中可以存在相同的物品。 
3. 任意两个人，他们包里的物品清单不能完全相同。 
在满足以上要求的前提下，所有包里的所有物品的总价值最大是多少呢？

输入格式：

第一行有三个整数：K、V、N。
第二行开始的 N 行，每行有两个整数，分别代表这件物品的体积和价值。

输出格式：

只需输出一个整数，即在满足以上要求的前提下所有物品的总价值的最大值。

样例输入：

2 10 5
3 12
7 20
2 4
5 6
1 1

样例输出：

57

数据范围：

总人数 K<=50。
每个背包的容量 V<=5000。
物品种类数 N<=200。
其它正整数都不超过 5000。
输入数据保证存在满足要求的方案。

解题思路：

读完题目，大概学过的人都知道是背包，只是具体怎么做的问题

***如果没学过背包问题的人，一定要去学学，这个是dp的基础，建议学习《背包九讲》

如果是单纯的01背包，f[j]=f[j-a[i]]+v[i]

那么这样只能计算最优解，如果要计算k优解呢？

我们可以增加一维，来记录当前状态下，即装了j的空间的时候的k优解

那么我们的转移就有点问题了，如何将f[j-a[i]]这样一个vector转化到f[j]这个vector

这里我们要提到归并排序，把两个有序数组合并的方法

***如果不会把两个有序数组合并的，也建议先去学习一下，这也是联赛的基础

那么这里便是把f[j]和f[j-a[i]]两个有序vector合并了

%:pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5010,K=100;
int k,v,n,ans;
int a[N],va[N],res[K],f[N][K];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&k,&v,&n);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%d%d",&a[i],&va[i]);
    for (int i=0;i<=v;++i)
        for (int j=0;j<=k+10;++j)
            f[i][j]=-1;
    f[0][1]=0;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=v;j>=a[i];--j)
            if (f[j-a[i]][1]!=-1){
                int l1=1,l2=1,tot=0;
                while (l1<=k&&l2<=k){
                    if (f[j][l1]==-1||f[j-a[i]][l2]==-1) break;
                    if (f[j][l1]>=f[j-a[i]][l2]+va[i])
                        res[++tot]=f[j][l1],l1++;
                        else res[++tot]=f[j-a[i]][l2]+va[i],l2++;
                }
                if (f[j][l1]==-1)
                    while (l2<=k&&f[j-a[i]][l2]!=-1) res[++tot]=f[j-a[i]][l2]+va[i],l2++;
                     else if (f[j-a[i]][l2]==-1)
                        while (l1<=k&&f[j][l1]!=-1) res[++tot]=f[j][l1],l1++;
                for (int l=1;l<=min(tot,k);++l) f[j][l]=res[l];
            }
    for (int i=1;i<=k;++i)
        ans+=f[v][i];
    printf("%d",ans);
}

总结：这道也算是背包问题的一点拓展，当然还有更多的问题等着读者去解决