题目描述

某公司针对某项目进行为期五年的规划，该项目使用某种设备，该公司有一台已经使用了两年的该型设备。每年年初该公司都有两种选择，一是更新设备，二是继续使用。设备在使用过程中会产生维修费用。设备更新、维修费用由下表给出，求解该公司如何更新设备可以获得最大利润。

求解过程

在规划之前，先引入几个符号。

表示在第i年使用第t年买的设备所得的毛利润；

表示在第i年使用第t年买的设备所需的维修费用；

表示第i年使用第t年买的设备所需的更新费用；

表示第i年使用第t年买的设备所获得的阶段总利润；

表示第i年初的设备是第t年买得话，所做的策略，true表示更新，false表示继续使用。

应用动态规划的方法，我们可以采用逆序求解的方式，从第五年年初设备状态开始求取，并且我们第五年年底，无论设备状态如何，第六年利润都为0。

首先，我们来推导利润的求解。

假设在第i年年初，拥有的设备是第t年买的。这时，我们有两个选择，更新当前设备，或者继续使用当前设备。

因此。

对于第五年年初，我们的设备状态可能有五种：第0年的设备，第一年的设备，第二年的设备，第三年的设备，第四年的设备。

根据表格，，我们可以求得

依次可以求得。

对于每一种状态，若求得结果时，选择更新的利润大，置为true，否则置为false。

照此方法，对于第一年年初，设备状态只有一种：第0年的设备。

更新的利润为32，继续使用的话是50，因此第一步我们要选择继续使用。

此时，我们再反过来查看每一步的选择。第一步我们选择了继续使用，第二步的状态就是使用第0年的设备，更新利润为36，继续为37，因此选择继续使用；第三步初始状态也为使用第0年设备，更新利润为27，继续使用为21，因此选择更新；第四步初始状态为使用第三年设备，继续使用为18，更新为13，选择继续使用；第五步初始状态为使用第三年设备，继续使用为14，更新为-4，因此为继续使用。

基于此，我们得到了最优的更新策略，第一年第二年不更新，第三年更新，第四年第五年不更新，最大利润为50。

代码

/*
算法设计与分析作业
    ---设备最优更新策略
*/
#include<iostream>

void accept(int **a, int years);
int max(int a, int b) { return  a > b ? a : b; }
int main() {
    using std::cin;
    using std::cout;
    using std::endl;

    cout << "请输入决策年数（i）：" << endl;
    int temp;
    while (!(cin >> temp)||temp < 0) {
        cout << "请输入一个正整数：" << endl;
        cin.clear();
        while (cin.get() != ‘\n‘);
    }
    int years = temp + 1; 

    //第i年买的设备在第t年能产生的利润
    int **exProfit = new int*[years];//0-n年买的设备
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        exProfit[i] = new int[years];//0-n年买的设备在第i年的利润
    }
    cout << "请依次输入利润：" << endl;
    accept(exProfit, years);
    //第i年买的设备在第t年产生的维修费用
    int **fix = new int *[years];
    for (int i = 0; i < years; i++){
        fix[i] = new int[years];
    }
    cout << "请依次输入维修费用：" << endl;
    accept(fix, years);
    //第i年买的设备在第t年更新时的费用
    int **update = new int *[years];
    for (int i = 0; i < years; i++){
        update[i] = new int[years];
    }
    cout << "请依次输入更新费用：" << endl;
    accept(update, years);
    //最优更新策略，true代表更新，false代表继续使用
    bool **choice = new bool *[years];
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        choice[i] = new bool[years];
    }
    for (int i = 0; i < years; i++){
        for (int j = 0; j < years; j++)
            choice[i][j] = false;
    }
    //最终利润，决策年数之后的一年利润全部置0
    int **profit = new int*[years];
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        profit[i] = new int[years + 1];
    }
    for (int i = 0; i < years; i++)
    {
        for (int j = 0; j < years + 1; j++)
            profit[i][j] = 0;
    }
    //倒序进行计算，第i年，可以使用的设备要么就是之前一直没更新，要么就是第j年买的设备
    //例如，第三年，设备的状态就有三种选择，一是使用第0年的设备，二是在第一年进行了更新，三是第二年进行了更新
    //分别对每个状态进行选择更新或者继续使用
    //第i年，有两种选择，要么更新，要么继续使用
    //分别计算更新和继续使用的利润，选择两者中比较大的。
    for (int  i = temp; i >0 ; i--)
    {
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            int keep = exProfit[j][i] - fix[j][i] + profit[j][i + 1];
            int refresh = exProfit[i][i] - fix[i][i] - update[j][i] + profit[i][i + 1];
            profit[j][i] = max(keep, refresh);
            if (keep < refresh) {
                choice[i][j] = true;
            }
        }
    }
    int j = 0;
    for (int i = 1; i < years; i++)
    {
        if (choice[i][j]) {
            j = i;
            std::cout <<"第"<<i<< "年更新"<<std::endl;
            continue;
        }
            std::cout << "第" << i << "年继续使用" << std::endl;
    }
    cout << "利润最大为：" << profit[0][1];
    delete[]profit;
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        delete[] fix[i];
    }
    delete[]fix;
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        delete[] exProfit[i];
    }
    delete[]exProfit;
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        delete[] update[i];
    }
    delete[]update;
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        delete[] choice[i];
    }
    delete[]choice;
}

void accept(int **a ,int years) {
    for (int i = 0; i < years; i++) {
        std::cout << "第"<<i<<"年：";
        int j = 0;
        a[i][j] = 0;
        j++;
        while (j < years)
        {
            if (j < i)
                a[i][j] = 0;
            else {
                while (!(std::cin >> a[i][j])||a[i][j] < 0) {
                    if(i == 0)
                        std::cout << "请从第" <<j<<"个数重新输入"<< std::endl;
                    else
                        std::cout << "请从第" << j-i+1 << "个数重新输入" << std::endl;
                    std::cout << "请输入正整数";
                    std::cin.clear();
                    while (std::cin.get() != ‘\n‘);
                }
            }
            j++;
        }
    }
}