对顶堆详解

我们知道，堆是一种极有用的数据结构。它能在短时间内将数据维护成单调递增/递减的序列。但是这种“朴素堆”对于问题求解起到的效果毕竟是有限的。所以我们在朴素堆的基础上，进行深入思考和适当变形，使之能解决一些其他的用朴素堆解决不了的问题，并使思路变得简洁有效。

这篇随笔就堆中的一个分支——对顶堆进行讲解，读者在阅读前应该掌握堆的基本概念，以便于更好地理解对顶堆。

如果把堆中的大根堆想成一个上宽下窄的三角形，把小根堆想成一个上窄下宽的三角形，那么对顶堆就可以具体地被想象成一个“陀螺”或者一个“沙漏”，通过这两个堆的上下组合，我们可以把一组数据分别加入到对顶堆中的大根堆和小根堆，以维护我们不同的需要。

那么对顶堆是干嘛用的呢？

举一个例题：

给定\(N\)个数字，求其前\(i\)个元素中第\(K\)小的那个元素。

我们很容易想到用堆来维护这个单调递增的序列，如果使用数组实现的话，我们直接输入数组下标为\(K\)的元素即可。但我们使用的是堆，它的实现方式——优先队列是不支持任意点访问的，那么我们就无法进行单点查询。引申对顶堆的概念，我们可以这样解决问题：

优先队列虽然不支持任意点访问，但可以用\(O(1)\)的时间查询出堆顶元素，也就是说，我们只能通过维护对顶堆中两个堆的堆顶元素来进行单调性的维护。怎么办呢？

原理很简单：根据数学中不等式的传递原理，假如一个集合\(A\)中的最小元素比另一个集合\(B\)中的最大元素还要大，那么就可以断定：\(A\)中的所有元素都比\(B\)中元素大。所以，我们把小根堆“放在”大根堆“上面”，如果小根堆的堆顶元素比大根堆的堆顶元素大，那么小根堆的所有元素要比大根堆的所有元素大。

回到这个问题：我们要求第\(K\)小的元素，那么我们把大根堆的元素个数限制成\(K\)个，前\(K\)个元素入队之后，每个元素在入队之前先与堆顶元素比较，如果比堆顶元素大，就加入小根堆，如果没有的话，把大根堆的堆顶弹出，将新元素加入大根堆。这样就维护出一个对顶堆。它的作用在于找出第\(K\)小的元素。

同理，对顶堆还可以用于解决其他“第\(K\)小”的变形问题：比如求前\(i\)个元素的中位数等。

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