错位排列

问题：

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

就是hdu2048

Solution：

采用递推的方法

记 \(n\) 个数的错排的方案为 \(f(n)\)。

如果我们已经求出来前 \(n-1\) 个 \(f(n)\) ，现在考虑将第一个元素放在第 \(k\) 个元素的位置上，那么会有以下两种情况

1. 第 \(k\) 个元素恰好到了第一个位置，那么对于 \([2,k-1]\cap [k+1,n]\) 内的 \(n-2\) 个元素可以与 \(1,k\) 不相关地进行错排，即 \(f(n-2)\) 种。
2. 第 \(k\) 个元素不在第一个位置，可以将第一个位置看成第 \(k\) 个元素的“归宿”，那么“第 \(k\) 个元素不在第一个位置”就又是一个错排，这样一来，对于 \([1,k-1]\cap [k+1,n]\) 内的元素满足错排的方案为 \(f(n-1)\) 种。

由于 \(k\in [2,n]\)，所以最后的递推式为 \(f(n)=(n-1)[f(n-1)+f(n-2)]\)

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