学习笔记之对KMP算法的理解

一，问题引入.
    有两个字符串，s[0...n-1] 和 t[0...m-1] 在字符串s中找字符串t；
二，思考.
    对于这个问题可以逐一比较，即:

即 s[p...i-1] == t[0...j-1]，而且 s[i] != t[j]， 这个时候最自然的想法是把 t 串右移一位从 t[0] 比较，即：

但是如果我们已经知道了 t[0] != s[p+1] ，那么右移一位显然是不必要的操作，类似的，若要使“右移”这一操作有意义（设右移后要和 s[i] 比较的字符是 t[k]，如下表），

则，必然要在 s[p...i-1]（也就是已经匹配的部分） 中找到一个字符使得 s[i-k] == t[0] , 这时，如果不幸的事情发生（在已匹配部分有 s[i-k+x] != t[x] ），那么

又是一次无意义的右移，纯属浪费精力

显然有意义的右移必须满足 s[i-k...i-1] == t[0...k-1] ，即 :

因为 s[p...i-1] == t[0...j-1] ，而且 s[i-k...i-1] 是 s[p...i-1] 的后缀，所以也是 t[0...j-1] 的后缀， 又因为 t[0...k-1] 是 t[0...j-1] 的前缀，而且，t[0...k-1] == s[i-k...i-1] 所以 t[0...k-1] 是 t[0...j-1] 的前缀和后缀。问题又来了（真是命途多舛~_~），什么问题呢？如果对于 t[0...j-1] 有多个子串满足：既是前缀又是后缀，那应该取哪一个（k）呢 ？举个例子，t[0]t[1] == t[j-2]t[j-1] 和 t[0...j-2] == t[1...j-1], 若选取前者，那么 j = 3， 依然可以继续比较而且是有意义的右移，如果选取后者， j = j-1, 同样是有意义的右移，这有什么差别！！差别是必须有的，假如选取后者时匹配成功，存储匹配成功时 i 的值，然后继续比较，在这个假设下，对于前者所存储的 i 的值里显然是少了，因为 前者直接右移多位，从 s[i-2...]开始比较，忽略了 s[p+1...] 匹配成功的可能；所以应该选取最长的这种子串

那么假如已经找到了 k 呢？如果 s[i] == t[k] 自然是一路愉快的比较下去咯！如果不一样，，，也不是问题，把 k 当作刚才的 j 就好了 ！

由前面的分析知道，不同的 j 对应 不同的 k ，所以可以设一个 next数组，使 k = next[j] ;

如果有了 next 数组：

 1 void kmp()//kuangbin模板
 2 {
 3     char s[maxn], t[maxn] ;
 4     int next[maxn] ;
 5     gets(s) ; 7     gets(t) ;
 8     get_next(t,next);//获取next数组的函数 ；
 9     int i = 0, j = 0 ;
10     int len_s = strlen(s), len_t = strlen(t);
11     while (i < len_s) {
12         while (j != -1 && s[i] != t[j]) j = next[j] ; //下面求next数组时把next[0] 初始化为-1,这表明t【0】匹配失败时，需要 串s 左移
13         ++ i;
14         ++ j;
15         if (j == len_t) {
16             printf("%d ",i) ;//输出匹配成功时t[m-1]在串s中的序号（下标加一) ；
17             j = next[j] ;//匹配成功了再次重新匹配，可能在 串s有多个 串t ；
18         }
19     }
20     puts("\n") ;
21 }

上面代码的关键是 while (j != -1 && s[i] != t[j]) j = next[j] ; s[i] != t[j] 表明 j 时 匹配失败，这时 串t 右移 ，把 j 赋值为 next[j] （可以这样考虑, k = next[j], j = k ;)

若 j = -1， 也就是 k = -1 时，显然是不可以让 j = -1 的，这说明 t[0] 就匹配失败了，

即 ： s[i] != t[0] ，这时候要这样比较咯 :

即 ++ i; ++ j ;(这样 j 就 等于 0 了 ~_~） ；

新的问题来了，怎么获得这么好用的 next数组 呢 ？

三，next数组的获得.

接着分析啊！不想怎么可能知道 ~_~

突然间觉得前面一段话写错了位置:

　　因为 s[p...i-1] == t[0...j-1] ，而且 s[i-k...i-1] 是 s[p...i-1] 的后缀，所以也是 t[0...j-1] 的后缀， 又因为 t[0...k-1] 是 t[0...j-1] 的前缀，而且，t[0...k-1] == s[i-k...i-1] 所以 t[0...k-1] 是 t[0...j-1] 的前缀和后缀。问题又来了（真是命途多舛~_~），什么问题呢？如果对于 t[0...j-1] 有多个子串满足：既是前缀又是后缀，那应该取哪一个（k）呢 ？举个例子，t[0]t[1] == t[j-2]t[j-1] 和 t[0...j-2] == t[1...j-1], 若选取前者，那么 j = 3， 依然可以继续比较而且是有意义的右移，如果选取后者， j = j-1, 同样是有意义的右移，这有什么差别！！差别是必须有的，假如选取后者时匹配成功，存储匹配成功时 i 的值，然后继续比较，在这个假设下，对于前者所存储的 i 的值里显然是少了，因为 前者直接右移多位，从 s[i-2...]开始比较，忽略了 s[p+1...] 匹配成功的可能；所以应该选取最长的 这种子串;

写到这里才对嘛！

首先，按照前面说的，next[0] = -1；然后不用看 串t 是什么样的都能知道 next[1] = 0（t[1]匹配失败当然要从t[0]开始啦） ;完了~_~，next[2] 看不出来了 ！

* 如果可以根据 next[1] 求 next[2] ，，，，这个还是先想想吧！容我先把 next[2] 算出来：

1, 若 t[0] == t[1] , 那么 next[2] = 1;

2, 若 t[0] != t[1] ，那么 next[2] = 0;

很好算嘛！Go on !

1, 若 t[0]t[1] == t[1]t[2], 那么 next[3] = 2 ;

2, 若 t[0]t[1] != t[1]t[2]，那么 next[3] = ? 现在还不能确定，

3，若 t[0] == t[2] ，那么 next[3] = 1 ;

4, 若 t[0] != t[2] ，那么 next[3] = 0 ;

算next[3] 已经有点费力了(至少对我来说是这样的~_~），还是考虑前面的 * 吧！

考虑 由 next[j] 推出 next[j+1] ; 令 k = next[j] ；next[j] 表示 当 t[j] != s[i] 时，即匹配到 j 失败时 j 的新值

如表:

即： t[0...k-1] == t[j-k...j-1] ；
如果 t[k] == t[j] ，那这个世界就太美好了！ next[j+1] = next[j] + 1 ;
然而，，，，
好吧！看看 t[k] != t[j] 时；(CROSShh ! 再来一个表格)

首先要明确目标: 寻找next[j+1]（kk = next[j+1]) 即 t[0...j] 最长的一个子串（既是前缀又是后缀），因为 t[k] != t[j] 所以 next[j+1] 肯定比 k 小， （然并卵！）这表明 kk < k ，也就是只能在 t[0...k]寻找一个前缀使之等于 t[j-k...j]的一个后缀，即 t[0...kk-1] == t[j+1-kk...j]  等价于 t[0...kk-2] == t[j+1-kk...j-1] && t[kk-1] == t[j] ;把重点放在前面的式子 t[0...kk-2] == t[j+1-kk...j-1]

而且 t[k-kk+1...k-1] == t[j+1-kk...j-1] (由 t[0...k-1] == t[j-k...j-1] )，所以等价于 t[0...kk-2] == t[k-kk+1...k-1] && t[kk-1] == t[j]

看前面的式子，t[0...kk-2] == t[k-kk+1...k-1] 这显然是 next[k] 啊！更新: k = next[k] 那么 kk-1 = k;  等价于判断 t[k] ?= t[j]  ~_~貌似问题回来了～不是的！是递推了！！

代码附上：

 1 void get_next(char a[],int next[])
 2 {
 3     memset(next,0,sizeof(next)) ;
 4     int k = -1, i = 0;
 5     next[0] = -1;
 6     int len = strlen(a) ;
 7     while (i < len) {
 8         while(k != -1 && a[i] != a[k]) k = next[k] ;
 9         next[++i] = ++ k;
10     }
11     for (i = 0; i < len; i ++)
12         printf("%d ",next[i]) ;
13     puts("\n") ;
14 }

四，小试一把。（hdu 1686 oulipo）

这是一个赤裸裸的KMP，直接给代码好了

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <string.h>
 4 const int ma = 10010 ;
 5 const int maxn = 1000010 ;
 6 int ne[ma] ;
 7
 8 void get_next(char a[],int M)
 9 {
10     memset(ne,0,sizeof(ne)) ;
11     int k = -1, i = 0 ;
12     ne[0] = -1 ;
13     while (i < M) {
14         while (k != -1 && a[i] != a[k]) k = ne[k] ;
15         ne[++i] = ++k;
16     }
17     return ;
18 }
19
20 int main()
21 {
22     int T ;
23     scanf("%d",&T) ;
24     char a[ma] , b[maxn] ;
25     while (T --) {
26         scanf("%s %s",a,b) ;
27         int le_a = strlen(a), le_b = strlen(b) ;
28         get_next(a,le_a) ;
29         int ans = 0 , i = 0, j = 0 ;
30         while (i < le_b && j < le_a) {
31             while (j != -1 && b[i] != a[j]) j = ne[j] ;
32             i ++ ;
33             j ++ ;
34             if (j >= le_a) {
35                 ans ++ ;
36                 j = ne[j] ;
37             }
38         }
39         printf("%d\n",ans) ;
40     }
41     return 0;
42 }