Description
今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。
Input
输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。
Output
输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。
Sample Input
4 5
Sample Output
122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 107。
【思路】
这个博客推倒过程挺详细的 click here
我是图片的搬运工
到此为止，只要两个循环都用个分块就可以解决2154了。
【代码】
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 using namespace std;
5
6 typedef long long ll;
7 const int N = 1e7+10;
8 const int MOD = 20101009;
9
10 ll mu[N],su[N],sz,np[N];
11 int n,m,mx;
12
13 void get_mu()
14 {
15 int i,j;
16 mu[1]=1;
17 for(i=2;i<=mx;i++) {
18 if(!np[i])
19 su[++sz]=i,mu[i]=-1;
20 for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) {
21 np[i*su[j]]=1;
22 if(i%su[j]==0)
23 mu[i*su[j]]=0;
24 else
25 mu[i*su[j]]=-mu[i];
26 }
27 }
28 for(i=1;i<=mx;i++)
29 mu[i]=(mu[i-1]+(ll)(mu[i]*i*i)%MOD)%MOD;
30 }
31 ll t(ll x,ll y)
32 {
33 return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD);
34 }
35 ll F(int n,int m)
36 {
37 int i,last; ll ans=0;
38 for(i=1;i<=n;i=last+1) {
39 last=min(n/(n/i),m/(m/i));
40 ans=(ans+(ll)(mu[last]-mu[i-1])*t(n/i,m/i)%MOD)%MOD;
41 }
42 return ans;
43 }
44 int main()
45 {
46 //freopen("in.in","r",stdin);
47 //freopen("out.out","w",stdout);
48 scanf("%d%d",&n,&m);
49 if(n>m) swap(n,m);
50 mx=n;
51 get_mu();
52 int last; ll ans=0;
53 for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
54 last=min(n/(n/i),m/(m/i));
55 ans=(ans+((ll)(i+last)*(last-i+1)/2*F(n/i,m/i)%MOD))%MOD;
56 }
57 printf("%lld",(ans+MOD)%MOD);
58 return 0;
59 }
【优化】
我是图片的搬运工
（H打错为F 233）
积性函数的约数和也是积性函数，H(D) 可以用线性筛求，然后求下前缀和就好了。
至此为止，可以解决2693的多查询问题了。
【代码】
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<iostream>
4 using namespace std;
5
6 typedef long long ll;
7 const int N = 1e7+10;
8 const int MOD = 20101009;
9
10 ll sum[N],su[N],sz,np[N];
11 int n,m,mx;
12
13 void get_mu()
14 {
15 int i,j;
16 sum[1]=1;
17 for(i=2;i<=mx;i++) {
18 if(!np[i]) {
19 su[++sz]=i,
20 sum[i]=(i-(ll)i*i)%MOD;
21 }
22 for(j=1;j<=sz&&i*su[j]<=mx;j++) {
23 np[i*su[j]]=1;
24 if(i%su[j]==0)
25 sum[i*su[j]]=(su[j]*sum[i])%MOD;
26 else
27 sum[su[j]*i]=(sum[su[j]]*sum[i])%MOD;
28 }
29 }
30 for(i=1;i<=mx;i++)
31 sum[i]=(sum[i]+sum[i-1])%MOD;
32 }
33 ll S(ll x,ll y)
34 {
35 return ((ll)(x*(x+1)/2%MOD)*(ll)(y*(y+1)/2%MOD)%MOD);
36 }
37
38 int main()
39 {
40 //freopen("in.in","r",stdin);
41 //freopen("out.out","w",stdout);
42 mx=1e7;
43 get_mu();
44 int T; scanf("%d",&T);
45 while(T--) {
46 scanf("%d%d",&n,&m);
47 if(n>m) swap(n,m);
48 mx=n; get_mu();
49 int last; ll ans=0;
50 for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
51 last=min(n/(n/i),m/(m/i));
52 ans=(ans+(ll)S(n/i,m/i)*(sum[last]-sum[i-1])%MOD)%MOD;
53 }
54 printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
55 }
56 return 0;
57 }
两倍经验get :)
最后扔上popoqqq神犇的ppt click here
时间： 2024-12-18 07:58:14