URAL 1204. Idempotents (扩展欧几里得)

题目链接

题意 ： 给你一个同余方程， x*x ≡ x  (mod n)，让你求出所有的小于n的x。

思路 ：

先来看同余的概念 ：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

因此题目中给定的式子可以写成：(x*x-x)/n=k.也就是说(x*x-x)是n的整数倍，取余n是0.

因为n=p*q，而且gcd(p,q)=1 ;所以上式可以写为，x*(x-1)/(p*q)=k.

让我们分情况讨论：

上式中，

1. 当k=0时，要么x为0，要么x-1为0，所以，两个解已经出来了，0和1。
2. 当k!=0时，要么p是x的因数并且q是x-1的因数，要么q是x的因数，p是x-1的因数。因此，这种情况下只要求出两种情况的p和q，然后再求他们的倍数。

x是不可能同时存在p和q两个因子的，因为这样就大于n了。

对于第1种情况，设x是p的a倍，x-1是q的b倍，则p*a-q*b=1.也就是说，因为gcd(p,q)=1，所以p*a-q*b=gcd(p,q).

让我们再来看扩展欧几里得 ： 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在）。

所以用扩展欧几里得将p*a-q*b=gcd(p,q).这个式子里的a求出来，然后乘上枚举出来的p。就是x的又一个解。最后再求第二种情况下的a即可。

#include <stdio.h>
#include <iostream>

using namespace std ;

void exGcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1 ;
        y = 0 ;
        return ;
        //return a;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
    int t = x ;
    x = y ;
    y = t - a / b * y ;
   // return r;
}
bool isprime(int x)
{
    for(int i = 2 ; i * i < x ; i++)
    {
        if(x % i == 0)
            return false;
    }
    return true ;
}
int main()
{
    int T,n,p,q,x,y ;
    scanf("%d",&T) ;
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n) ;
        for(int i = 2 ; i * i < n  ; i++)
        {
            if( (n%i == 0) && isprime(i) && isprime(n/i) )
            {
                p = i ;
                q = n/i ;
                break ;
            }
        }
        exGcd(p,q,x,y) ;
        int ans1 = p*x < 0 ? p*x+n : p*x ;
        exGcd(q,p,x,y) ;
        int ans2 = q*x < 0 ? q*x+n : q*x ;
        if(ans1 > ans2)
            swap(ans1,ans2) ;
        printf("0 1 %d %d\n",ans1,ans2) ;
    }
    return 0 ;
}