中国科学技大学2014年数学分析考研试题

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

1($25'$) 计算: (1)($10'$) $\dps{\lim_{n\to\infty}\sin^2\sex{\pi\sqrt{n^2+n}}}$. 解答: $$\beex \bea \mbox{原极限} &=\lim_{n\to\infty}\sin^2\sex{\pi\sqrt{n^2+n}-\pi n}\\ &=\lim_{n\to\infty}\sin^2\frac{\pi n}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ &=\sin^2\sex{\lim_{n\to\in

1. ($30'$) 计算: (1) $\dps{\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}\rd x}$. (2) $\dps{\int_{\vGa} xy\rd s}$, 其中 $\vGa$ 为 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与 $x+y+z=0$ 的交线. (3) $\dps{\vlm{n}\sex{\int_0^\pi x^{2013}\sin^n x\rd x}^\frac{1}{n}}$. 解答: (1) 令 $\dps{\sqrt{\frac{

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1已给出一个函数的表达式 $F(x)$, 其为 $f(x)$ 的原函数, 求 $\dps{\int xf(x)\rd x}$. 解答: $$\beex \bea \int xf'(x)\rd x &=\int x\rd f(x)\\ &=xf(x)-\int f(x)\rd x\\ &=xF'(x)-F(x). \eea \eeex$$ 2已知 $$\bex \sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i-1}a_i=0. \eex$$ 试证: $$\bex \ls{n}\sum_{

一.($3\times 15'=45'$) 1.  求 $\dps{\ls{n}(a^n+b^n)^\frac{1}{n}}$, 其中 $a>b>0$. 解答: 由 $$\bex a<(a^n+b^n)^\frac{1}{n}<2^\frac{1}{n}a \eex$$ 及 $\dps{\ls{n}2^\frac{1}{n}=1}$ (参考第二大题第 4 小题), 夹逼原理知原极限 $=a$. 2.  求 $\dps{\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x-x}{

$\bf 摘要$: 本文给出了兰州大学 2011 年数学分析考研试题的一个参考解答. $\bf 关键词$: 兰州大学; 数学分析; 考研试题 1计算题 ($6\times 10'=60'$). (1)求极限 $$\bex \lim_{x\to 0}\frac{e^{x-\sin x}-e^\frac{x^3}{6}}{x^5} \eex$$ 解答: $$\bex \mbox{原极限}&=&\lim_{x\to 0}\frac{e^\xi\sex{x-\sin x-\frac{x^3}{6}

1 ($3\times 5'=15'$) 求下列极限: $$\bex \lim_{x\to 0^+}\sex{\frac{\sin x}{x}}^\frac{1}{x^2};\quad \ls{n}\frac{3^n}{n!};\quad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin x^3}. \eex$$ 解答: $$\beex \bea \lim_{x\to 0^+}\sex{\frac{\sin x}{x}}^\frac{1}{x^2} &=\lim_{x

1选择题 (本题含 5 小题满分 30 分, 每小题 6 分) (1)函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内具有连续的 2 阶导数, 满足 $f'(x_0)=0$, 并且 $f''(x_0)<0$, 则 (A) A. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极大值; B. $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极小值; C. $(x_0,f(x_0))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的拐点; D. $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内单调减少. 证明: 事实上, $$\bex f