求一个数的最大公约数的三种思路——解题笔记

编程之美上的题目：求一个数的最大公约数。

这道题目有三种解题思路，总结如下：

思路一：

直接使用辗转相除法，这个不多介绍，代码如下：

// 直接辗转相除法
int gcd1(int a, int b)
{
	for(int m = a%b; m != 0; m = a%b)
	{
		a = b;
		b = m;
	}
	return b;
}

分析：辗转相除法需要用到数值之间的取余运算，这是非常耗时间的。

思路二：

改进辗转相除法中取余（除法）运算，改为减法。这里可以利用一个规律，x和y的最大公约数等于x-y和y的最大公约数。不过需要判断x和y的大小。

代码如下：

// x和y的最大公约数等于x-y和y的最大公约数
int gcd2(int a, int b)
{
	if(a < b)
		swap(a, b);  // 默认前面的数较大
	while(b)
		return gcd2(b, a-b);  // 递归
	return a;
}

分析：虽然这种方法只有减运算，用的是递归的实现形式。但是，需要递归的次数比较多，假如a和b之间相差较大，那么每次都只是相减，会迭代很多次。

思路三：

可以结合前面两个思路的优点，我们不全都是用减运算，偶尔用一次除法，不过只是除以2，即判断奇偶数，而且用移位运算实现。

代码如下：

// 通过判断奇偶数，减少迭代次数
bool isEven(int a)
{
	return (a & 1);  // 按位与来判断奇偶数
}

int gcd3(int a, int b)
{
	if(a < b)
		swap(a, b);  // 默认前面的数较大

	if(!b)
		return a; 

	if(isEven(a))  // if a is even
	{
		if(isEven(b))  // b is even at the same time
			return (gcd3(a>>1, b>>1) <<1); // note that *2
		else
			return (gcd3(a>>1, b));  // if only a is even
	}
	else
	{
		if(isEven(b))
			return gcd3(a, b>>1); // is only b is even
		else
			return gcd3(a-b, b);  // neither a or nor b is even
	}
}

分析：时间复杂度只是a和b中较大数的二进制位数，也就是O(log max(a, b))。注意其中判断是否为奇偶数用的是位运算。