【数学】素数相关算法、结论总结

弱菜开始学数论了，不定时更新。。。

一.素数定理：

素数分布：小于x的素数大约有 x/ln(x)个

推论：如果Pn为第n个素数 那个Pn约等于n*ln(n);

二.素数测试

1.sqrt(n)的朴素测试。这个就不多说了，数据范围小的时候比较方便

2.nlogn的筛法

void setprime()
{
    memset(prime, 0, sizeof(prime)); //为了方便赋值。令prime[i]=0 表示 i是素数  for (int i=2;  i<N;  i++)
      if (!prime[i])
      {          for (int k=i*i; k<N; k+=i)
            prime[k]=1;
      }
    return;
}   

3.线性筛

2中筛法会重复筛掉部分合数，因此复杂度还可以优化，得到线性筛

void setprime()
{
         for(long i = 2 ; i < N ; i ++)
           {
        if(! isNotPrime[i])
             prime[num_prime ++]=i;
        for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] <  N ; j ++)
            {
                  isNotPrime[i * prime[j]] = 1;
              if( !(i % prime[j] ) )
                break;    //关键优化
        }
    }
    return ;
}  

此筛法的关键在于注释中的break。prime[]数组记录素数。当i可以整除prime[j]的时候break，原理见 http://blog.csdn.net/leolin_/article/details/6642126

2,3中的筛法单独使用都只能筛出较小范围的素数，范围较大，如1e9时，数组开不了，时间也是不允许的

4.改进的筛法素数测试

此方法是2.3中方法的应用和延伸，用来筛超大范围的质数。。由1中朴素判断法我们可以知道，判断素数只需要判断sqrt范围内有没有因子即可，所以在范围变大的时候，我们可以先用筛法筛出

sqrt（n）中的素数并保存在数组中。范围1e9的话只需要筛出30000多内的素数即可，再用保存下来的素数去对更大范围的数进行素数测试。如poj2689（最大所测试数达到了2147483647）

就是这种方法的直接应用

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100007
bool isprime0[50000];
int prime0[50000];
long long prime[100000];
bool isprime[1000010];
int num0;
int num;
long long x,y;
void setprime()
{
    num=0;
    for(int i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(!isprime0[i])
            prime0[num0++]=i;
        for(int j=0;j<num0&&prime0[j]*i<=50000;j++)
        {
            isprime0[i*prime0[j]]=1;
            if(!(i%prime0[j]))
                break;
        }
    }
}
void setprime1()
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    for(int i=0;i<num0;i++)
    {
        long long j=x/prime0[i];
        while(j*prime0[i]<x)
            j++;
        for(j=j*prime0[i];j<=y;j+=prime0[i])
            if(j/prime0[i]>1)
                isprime[j-x]=1;
    }
    if(x==1)
        isprime[0]=1;
    num=0;
    for(long long i=0;i<=y-x;i++)
    {
        if(!isprime[i])
            prime[num++]=x+i;
    }
}
int main()
{
    setprime();
    while(scanf("%I64d%I64d",&x,&y)!=EOF)
    {
        setprime1();
        long long a,b,c,d;
        long long mi=10000000,ma=0;
        if(num<2)
        {
            puts("There are no adjacent primes.");
            continue;
        }
        for(int i=0;i+1<num;i++)
        {
            long long p=prime[i+1]-prime[i];
            if(p<mi)
            {
                a=prime[i];
                b=prime[i+1];
                mi=p;
            }
            if(p>ma)
            {
                c=prime[i];
                d=prime[i+1];
                ma=p;
            }
        }
        printf("%I64d,%I64d are closest, %I64d,%I64d are most distant.\n",a,b,c,d);
    }
    return 0;
}