[BZOJ 3669] [Noi2014] 魔法森林 【LCT】

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题目分析

如果确定了带 x 只精灵A，那么我们就是要找一条 1 到 n 的路径，满足只经过 Ai <= x 的边，而且要使经过的边中最大的 Bi 尽量小。

其实就是一个按照 Bi 建立的 MST 上 1 到 n 的路径。只能使用 Ai <= x 的边。

那么，如果我们从小到大枚举 x ，这样可以使用的边就不断增加，就是在加边的同时维护 MST ，用 LCT 来做就可以了。

如果新加入一条边 (u, v, w) ，并且原 MST 上 u 到 v 的路径中边权最大的边的边权大于 w ，那么就删掉那条边权最大的边，然后把这条新加入的边连到 MST 中。

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

inline void Read(int &Num)
{
	char c = getchar();
	while (c < ‘0‘ || c > ‘9‘) c = getchar();
	Num = c - ‘0‘; c = getchar();
	while (c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
	{
		Num = Num * 10 + c - ‘0‘;
		c = getchar();
	}
}

inline int gmax(int a, int b) {return a > b ? a : b;}
inline int gmin(int a, int b) {return a < b ? a : b;}

const int MaxN = 50000 + 5, MaxM = 100000 + 5, MaxT = 150000 + 5, INF = 999999999;

int n, m, Ans;
int Father[MaxT], Son[MaxT][2], V[MaxT], T[MaxT];

bool isRoot[MaxT], Rev[MaxT];

struct ES
{
	int u, v, p, q;
} E[MaxM];

inline bool Cmp(ES e1, ES e2)
{
	return e1.p < e2.p;
}

/**************************** LCT Start *******************************/

inline int Tmax(int a, int b) {return V[a] > V[b] ? a : b;}

inline void Update(int x)
{
	T[x] = Tmax(x, Tmax(T[Son[x][0]], T[Son[x][1]]));
}

inline void Reverse(int x)
{
	Rev[x] = !Rev[x];
	swap(Son[x][0], Son[x][1]);
}

inline void PushDown(int x)
{
	if (!Rev[x]) return;
	Rev[x] = false;
	if (Son[x][0]) Reverse(Son[x][0]);
	if (Son[x][1]) Reverse(Son[x][1]);
}

inline int GetDir(int x)
{
	if (x == Son[Father[x]][0]) return 0;
	else return 1;
}

void Rotate(int x)
{
	int y = Father[x], f;
	PushDown(y); PushDown(x);
	f = GetDir(x) ^ 1;
	if (isRoot[y])
	{
		isRoot[y] = false;
		isRoot[x] = true;
	}
	else
	{
		if (y == Son[Father[y]][0]) Son[Father[y]][0] = x;
		else Son[Father[y]][1] = x;
	}
	Father[x] = Father[y];
	Son[y][f ^ 1] = Son[x][f];
	if (Son[x][f]) Father[Son[x][f]] = y;
	Son[x][f] = y;
	Father[y] = x;
	Update(y); Update(x);
}

void Splay(int x)
{
	int y;
	while (!isRoot[x])
	{
		y = Father[x];
		if (isRoot[y])
		{
			Rotate(x);
			break;
		}
		if (GetDir(y) == GetDir(x)) Rotate(y);
		else Rotate(x);
		Rotate(x);
	}
}

int Access(int x)
{
	int y = 0;
	while (x != 0)
	{
		Splay(x);
		PushDown(x);
		if (Son[x][1]) isRoot[Son[x][1]] = true;
		Son[x][1] = y;
		if (y) isRoot[y] = false;
		Update(x);
		y = x;
		x = Father[x];
	}
	return y;
}

inline void Make_Root(int x)
{
	int t = Access(x);
	Reverse(t);
}

inline void Link(int x, int y)
{
	Make_Root(x);
	Splay(x);
	Father[x] = y;
}

inline void Cut(int x, int y)
{
	Make_Root(x);
	Access(y);
	Splay(y);
	PushDown(y);
	isRoot[Son[y][0]] = true;
	Father[Son[y][0]] = 0;
	Son[y][0] = 0;
	Update(y);
}

inline int Find_Root(int x)
{
	int t = Access(x);
	while (Son[t][0] != 0) t = Son[t][0];
	return t;
}

/**************************** LCT End *******************************/

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		Read(E[i].u); Read(E[i].v);
		Read(E[i].p); Read(E[i].q);
	}
	sort(E + 1, E + m + 1, Cmp); // by ES.p
	for (int i = 1; i <= m; ++i) V[n + i] = E[i].q;
	for (int i = 1; i <= n + m; ++i)
	{
		isRoot[i] = true;
		Father[i] = 0;
		T[i] = i;
	}
	Ans = INF;
	int t, CutE;
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		if (Find_Root(E[i].u) != Find_Root(E[i].v))
		{
			Link(E[i].u, n + i); Link(E[i].v, n + i);
		}
		else
		{
			Make_Root(E[i].u);
			t = Access(E[i].v);
			if (V[T[t]] > E[i].q)
			{
				CutE = T[t];
				Cut(E[i].u, CutE); Cut(E[i].v, CutE);
				Link(E[i].u, n + i); Link(E[i].v, n + i);
			}
		}
		if (Find_Root(1) == Find_Root(n))
		{
			Make_Root(1);
			t = Access(n);
			Ans = gmin(Ans, E[i].p + V[T[t]]);
		}
	}
	if (Ans == INF) Ans = -1;
	printf("%d\n", Ans);
	return 0;
}