排列与组合

话说，初一的时候看到这样一道题：有一种彩票中奖率为1%，买一百张是不是一定能中奖？答案自然是否定的，但我在想，如果有200张彩票，两张有奖，买一百张中奖率是多少？一天晚上睡觉的时候真的忽然想出来了（那时还没有学排列组合，自己想出了组合公式），最后算出来大约是75%。（相信学过OI的同学就不用看本文了）
 
 
先解决这个问题：两百张彩票，买一百张有多少种排列方式？当年我就是在脑海里构造了一个类搜索树的东西（好吧，二维的线性搜索树……），简单地说我们买第一张彩票的时候有200种方案可选，买第二张时由于之前被买走了一张，所以有199种方案……最后的总方案数为200X199X198……X101，也即为200!÷100!。这里说的是排列方式，那组合呢？可以发现，对于每一种组合方式，都有100!种组合方式，所以组合的总数为200!÷(100!X100!)。
 
 
那这么多组合方式中，有多少种能中奖呢？事实上，算一下不能中奖的方式会更方便，除去两张有奖的，不能中奖的方案数为：198!÷(98!X100!)（不解释），再除一下，约去1/100!和198!÷100!，剩下(100X99)/(200X199)约为25%，中奖几率就是1-25%=75%。
 
 
除了这里说到的排列和组合，还有一种圆周排列，以上面的数据为例，因为每一种排列被重复算了100次，所以就只要在排列的总数的基础上除以100就好了，也即200!÷(100!X100)。
   
最后归纳一下，对于从n个数中选出m个数的排列方案数为：n!÷(n-m)!，组合数为：n!÷[(n-m)!*m!] ，圆周排列数为：n!÷[(n-m)!*m]。
   
至于此类公式衍生出的题型和方法实在不胜枚举，这里就不详述了，其实也很简单：机智才是王道！

时间： 2024-10-22 19:28:28

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