置换群（本蒟蒻瞎BB的）（未完）
群的定义
给定一个集合\(G=\{a, b, c...\}\)和集合\(G\)上的二元运算*，并满足：
- 封闭性：\(\forall a, b \in G, \exists c \in G, a*b=c\)。也就是集合里的元素怎么乱搞都只能搞出来集合里的东西。
- 结合律：\(\forall a, b, c \in G, (a*b)*c=a*(b*c)\)。注意不一定满足交换律哟。
- 单位元：\(\exists e \in G, \forall a \in G, a*e=e*a=a\)。也就是说存在一个元素e，任意一个元素和它运算得到它本身。其中e叫做单位元。
- 逆元：\(\forall a \in G, \exists b \in G, a*b=b*a=e\)，记\(b=a^{-1}\)。也就是说对于任何一个元素，都有另一个元素和它运算得到单位元。由于不一定有交换律，所以还有左右逆元之分。然而在群中左逆元=右逆元。
证明：\(\forall x \in G,\exists a \in G, ax=e\)，即a是X的左逆元。
显然\(\exists b \in G,ba=e\)。也就是说b是a的左逆元。
那么\(xa=(ba)(xa)=b(ax)a=ba=e\)（结合律），也就是说a也是x的右逆元。
则称集合G在运算“*”上是一个群，简称G是群。一般a*b简写成ab，*可以是任意运算。若G中的元素个数是有限的，则称G为有限群，否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
群的运算
对于\(g \in G\)，对于G的子集H，定义\(g*H=\{gh \mid h\in H\}\)，即g对H中的每一个元素运算而生成的集合，简写为gH。同理，H*G简写为Hg，有毒。
对于G的子集A，B，定义\(A*B=\{ab \mid a \in A,b \in B\}\)
对于G的子集H，记\(H^{-1}=\{h^{-1} \mid h \in H\}\)。也就是H的逆就是H中所有元素的逆组成的集合。
定理1：在具有封闭性，结合律，单位元和逆元的二元组(G，*)里，消去律存在
消去律的定义：对于群中的消去律来说，它的定义是x=y与xa=ya互为充要条件。也就是说等式两边可以同时消掉一个相同的量。
证明很简单，只需要在xa=ya两边同时乘以\(a^{-1}\)即可。
定理2：若(G，*)满足封闭性，结合律，单位元和消去律，则对于任一\(g \in G\)，gG=Gg=G
简单来说，这个定理的意思是，挑出集合中的一个元素，和集合内所有的元素都搞一遍，搞出来的还是原来那个集合。
证明：根据封闭性，\(gG \subseteq G\)。并且根据定理1的消去律，在gG中不会出现类似于\(xa=ya\ (x, y\in gG)\)这样的情况（不然违背集合的不重复性），所以\(|gG|=|G|\)。因此，\(gG=G\)。同理可证得\(Gg=G\)。
定理3：在具有封闭性，结合律，单位元和消去律的二元组(G，*)里，逆元存在
证明：任意取一个G中的元素g，由于gG=G，所以gG中一定含有单位元e。这表明，G中有一个元素，和g运算得到e。所以G中任意元素的逆元都存在。
定理4：若(G, *)是群，H是G的非空子集，并且(H, *)也是群，那么称H为G的子群。
根据定理4可以判断子集是否为一个子群：
- \(HH=H\)。如果这个条件满足，说明满足了封闭性。
- \(H^{-1}=H\)，即H中的每一个元素都有逆元，并且H中有单位元，因为只有单位元的逆元是单位元。
同时，因为H是G的子集，结合律也是满足的，所以H也是群，称为G的子群。
置换
置换的定义
设M是一个非空的有限集合，元素个数为n，M的一个一对一变换称为一个n元置换。说白了，置换就是对于一种重排列的表示方法。
设\(M={a_1, a_2, ..., a_n}\)，则M的置换\(\sigma\)可简记为：\(\sigma = \begin{pmatrix} a_1 & a_2...a_n\\b_1 & b_2...b_n \end{pmatrix}\)，\(b_i=\sigma(a_i)\)。考虑一下重排列的个数，易得M的置换有\(n!\)个。若\(\sigma(a_i)=a_i\)，则\(\sigma\)为n元恒等置换。\(S_n\)表示所有n元置换的集合。
举个栗子：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,4 \\ 3,1,2,4 \\ \end{pmatrix}\)，意思是原来在第一位上的元素要跑到第三位去，第二位上的元素要跑到第一位去……以此类推。在这个置换下，1234经过置换就变成了3124，再置换就变成了2314。容易发现置换的列随意调动，置换本身的含义并不变（第i号元素该跑到哪还是跑到哪），所以一般第一行就是123……n。
当n相等时，置换是可以运算的，称为置换的连接。规则如下：\(\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1,a_2,a_3,...,a_n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1,2,3,...,n \\ b_1,b_2,b_3,...,b_n \\ \end{pmatrix}\)
无论置换怎样搞来搞去，一定都在\(S_n\)，这是封闭性中。显然置换的运算是满足结合律（置换同属\(S_n\)）的（试着从单个元素的变化去考虑），然而不满足交换律。同时，\(S_n\)中有单位元，也就是n元恒等置换。任意一个置换在\(S_n\)中都有逆元素，这个逆元素就是原置换两行调换后的置换。
所以在\(S_n\)中，置换的运算满足封闭性，结合律，同时单位元和逆元存在。那它，它就是个群啊！
置换群
n元置换的群体作成的集合\(S_n\)对置换的连接作成一个群，称为n次对称群（任意子群称作n次置换群）。
原文地址：https://www.cnblogs.com/MyNameIsPc/p/8506432.html