【算法专题】卡特兰数（计数数列）

Catalan数列：1 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796

【计数映射思想】

参考：卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

计数映射：将难以统计的数映射为另一种形式的可以统计的数。

一、入栈出栈序

n个数字，有多少种合法的入栈出栈序列？n=3时的合法序列之一：+1,-1,+1,+1,-1,-1

对于n个数字，就是要在2n个1中添加n个“+”，则序列总数C(2n,n)。

对于未入栈先出栈的不合法情况，在其第一次前缀和为-1时，将前面的所有符号反转，此时整个序列有n+1个“+‘和n-1个’-‘，每个不合法序列都映射为2n个1中添加n+1个‘+‘构成的序列。

正向：每个不合法序列第一个前缀和为-1的位置反转后，形成的序列不同。

反向：每个含n+1个"+"的序列，第一个前缀和为1的位置反转后，形成的不合法序列不同。

所以得到卡特兰数：Cn=C(2n,n)-C(2n,n-1)=C(2n,n)/(n+1)。

例一、含n+1个节点的满二叉树形态数：中序遍历，向左+1向右-1，转化为入栈出栈序。

例二、圆上n个点连弦数：顺时针顺序每次+1和-1连弦，转化为入栈出栈序。

例三、n对括号表达式：左括号+1右括号-1，括号表达式组合数转化为入栈出栈序。

例四、n+1个数字连乘：结合n次即有n对有效括号，转化为括号表达式。

例五、凸n+2边形的三角剖分数：对边进行编号，然后顺时针扫描，实际上是n+1条边的连乘方案，转化为入栈出栈序。

二、不跨线路径数（几何模型）

入栈出栈序：考虑n*n的方格，从左下到右上不跨越对角线的路径数，向右记为+1，向上记为-1，跨越对角线就是前缀和为-1，则转化为入栈出栈序。

考虑n*m的方格，一条不合法路径在第一次跨越对角线的时候，将前面的路径翻转(上变左,左变上)，那么就变成了到(n-1,m+1)的路径数。

那么f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n-1)。

【分治思想】

一个问题A，规模为n，可以用分治的思想，先固定一个元素，然后将剩下n-1个元素拆分成两个问题，根据固定的元素位置不同，两个问题分别是(0,n-1)(1,n-2)...(n-1,0)。

例一、入栈出栈序：固定最后出栈的数字是第k个加入的数，那么k前面是k-1个数的入栈出栈序问题，k后面是n-k个数的入栈出栈序问题，则有：

C(n)=C(0)*C(n-1)+C(1)*C(n-2)+...+C(n-1)C(0)，即C(n)=ΣC(i)*C(n-i-1)，i=0~n-1，C(0)=1。

例二、凸n+2边形三角剖分数：先固定三角形V₁V_kV_n+2，划分成凸k多边形和凸n+2-k边形，转化为Cn。

★总结：Catalan数的题目，一般从几种方式看出：转化为入栈出栈序，转化为几何不跨线路径数，定点分治思想，打表。

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