多项式

一个\(n\)次多项式可以表示为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_i x^i\)，另一个\(n\)次多项式可以表示为\(B(x)=\sum_{i=0}^{n}b_i x^i\)。

• 多项式加法

  将\(A(x)\)和\(B(x)\)相加，得到多项式\(C(x)=\sum_{i=0}^{n} (a_i+b_i) x^i\)。

  复杂度是\(O(n)\)的。

• 多项式乘法

  将\(A(x)\)和\(B(x)\)相乘，得到多项式\(C(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}a_ib_jx^{i+j}\)。

  复杂度是\(O(n^2)\)的，不是很优，于是我们决定想办法来解决它。

快速傅里叶变换 (FFT)

概述

快速傅里叶变换，英文名\(Fast\ Fourier\ Transform\)，它可以在\(O(nlog(n))\)的复杂度内完成多项式乘法。

前置技能

函数的表达方法

• 系数表达法

  通过\(a_0,a_1,...,a_n\)来表示函数\(f(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\)

• 点值表达法

  选取平面上\(n+1\)个不同的点来表示函数\(f(x)=\{ (x_0,y_0), (x_1,y_1), ..., (x_n, y_n)\}\)

我们发现，通过点值表达法，我们可以在\(O(n)\)的复杂度内计算出\(C(x)\)，于是我们考虑将系数和点值结合起来。

单位复数根

在复平面上，单位圆有一些其妙的性质：

我们默认\(n=2^t,t\in N\)

• \(w_n^k=w_{2n}^{2k}\)
• \(w_n^{k+\frac{n}{2}}=-w_n^k\)
• \(w_n^k=w_n^{k+n}\)
• 对于任意\(k\)，均满足\(\sum_{j=0}^{n-1}(w_n^k)^j=0\)

原文地址：https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/12657174.html