我似乎记得 Polya 的《怎样解题表》提示我 “从尽可能多不同的角度将原问题进行描述” ，也似乎记得有某篇集训队论文的题目叫做《退一步，海阔天空》 ，我想，用一个流程来对题目中的合法状态进行描述，能获得许多不一样的理解吧。
就目前做的题来看，这种观点大多用于计数问题，或者一些最优性问题。
[TH 2140] 计数
给 $n_1(\le 1000)$ 个 $A$ 、$n_2(\le 1000)$ 个 $B$ 、$n_3(\le 1000)$ 个 $C$ 、$n_4(\le 1000)$ 个 $D$ ，求能组成多少个相邻项不同的序列。
用一个流程描述所有序列，然后对流程的不同运行数进行计数：对 $A$ 与 $B$ 归并，对 $C$ 与 $D$ 归并，然后将两个序列相互渗入。
两个序列不一定能够相互渗入。对由两种字母构成的序列定义渗入指数 $K$ ：强制把序列钦定为 $K$ 段，相互渗入的时候在两段之间的空隙必须插入。那么两个序列能够相互渗入，当且仅当渗入系数的差值的绝对值不超过 $1$ 。
如何求由 $n_1$ 个 $A$ ，$n_2$ 个 $B$ ，构造的渗入系数为 $K$ 的序列个数？
观察性质发现，对于每一段，只可能有三种情况：
（1）$A$ 比 $B$ 多 $1$ 个；
（2）$B$ 比 $A$ 多 $1$ 个；
（3）$A$ 和 $B$ 一样多。
枚举 $A$ 比 $B$ 多 $1$ 个的段数 $a$ ，可以解决 $B$ 比 $A$ 多 $1$ 个的段数 $b$ ，以及 $A$ 、$B$ 一样多的对数 $c$ 。
通过 $\binom{K}{a, b}$ 钦定哪些段是情况（1）（2），然后乘上 $2 ^ {K - a - b}$ 钦定 $A$ 、$B$ 一样多的段数是形如 $ABAB$ 还是 $BABA$ 。剩下的问题就是将 $c - (K - a - b)$ 对 $ab$ 划分到 $K$ 段中，这是经典的不定方程计数，利用插板法。
1 const int N = 2005;
2 const int MOD = 1e9 + 7;
3
4 int C[N][N], Pow[N];
5 int n1, n2, n3, n4;
6 int f[N], g[N], ans;
7
8 inline int Solu(int n, int m) {
9 // a[1] + a[2] + ... + a[n] = m, a[i] >= 0
10 if (n == 0) return m == 0;
11 return C[m+n-1][n-1];
12 }
13 void Init(int nA, int nB, int *h) {
14 F(K, 0, nA+nB) {
15 F(a, 0, K) {
16 int b = nA - nB + a;
17 int c = K - a - b;
18 int d = (nA + nB - a - b) >> 1;
19 if (!(a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= c)) continue;
20 h[K] = (h[K] + 1LL * C[K][a] * C[K-a][b] % MOD * Solu(K, d-c) % MOD * Pow[c]) % MOD;
21 }
22 }
23 }
24
25 int main(void) {
26 For(i, 0, N) {
27 C[i][0] = 1;
28 F(j, 1, i) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD;
29 }
30 Pow[0] = 1;
31 For(i, 1, N) Pow[i] = (Pow[i-1] << 1) % MOD;
32
33 scanf("%d %d %d %d", &n1, &n2, &n3, &n4);
34 Init(n1, n2, f);
35 Init(n3, n4, g);
36
37 F(i, 1, n1+n2)
38 ans = (ans + 1LL * f[i] * g[i-1] + 2LL * f[i] * g[i] + 1LL * f[i] * g[i+1]) % MOD;
39 printf("%d\n", ans);
40 }
[HDU 6017] Girl Love 233
给长度为 $n(\le 100)$ 的由 $2$ 、$3$ 组成的序列，求对序列进行不超过 $m(m \le 100)$ 次交换相邻两位的所有新序列中，最多的连续的 $233$ 的个数。
所有新序列可以看作：由 $2$ 、$3$ 归并而成，且最少的交换次数小于等于 $m$ 。即设原序列 $2$ 的位置为 $a_1, a_2, ..., a_k$ ，新序列 $2$ 的位置为 $b_1, b_2, ..., b_k$ ，则要求 $\sum |a_i - b_i| \le m$ 。
设 $f[i][j][k][l]$ 表示在归并的过程中，用了 $i$ 个 $2$ 、$j$ 个 $3$ 、$k$ 次交换、末尾状态为 $l$ 的最多的连续的 $233$ 个数，DP 即可。
[BZOJ 3864] Hero meet devil
字符集为 $\left\{ ‘A‘, ‘G‘, ‘C‘, ‘T‘ \right\}$ ，给长度为 $n(\le 15)$ 的字符串 $S$ ，求有多少个长度为 $m(\le 1000)$ 的字符串 $T$ ，使得 $LCS(S, T) = 0, 1, ..., n$ 。
如何求 $LCS(S, T)$ ？设 $f[i][j]$ 表示 $LCS(T[1:i], S[1:j])$ ，由 $f[i-1][]$ 推出 $f[i][]$ 。换句话说，假如把每一行当作一种变量类型命名为 $T$ 的状态，那么我由 $f[0]$ 推得 $f[1]$ ，$f[1]$ 推得 $f[2]$ ，依次类推。综上，用了一个流程来描述 $LCS(S, T)$ 。
对这个流程套用 DP ，设 $g[i][State]$ 表示考虑到第 $i$ 位的状态，且 $f[i] = State$ 的方案数。
在 $State$ 中，相邻两位的差值为 $0$ 或 $1$（可以通过数学归纳法进行证明），且第一位的值为 $0$ ，所以可以通过二进制来表示所有的状态，且状态数为 $O(2 ^ n)$ 。
[CF 578D] LCS Again
字符集 $\alpha = \left\{ 前 m 个小写字母 \right\}$ ，给长度为 $n(\le 100000)$ 的串 $S$ ，求有多少个串 $T$ ，使得 $LCS(S, T) = n-1$ 。
对于给定的 $S, T$ ，如何判断 $S, T$ 的 $LCS$ 是否为 $n-1$ ？假设 $S, T$ 的 $LCS$ 为 $n-1$ ，设 $f[i][j]$ 表示 $T[1 : i]$ 与 $S[1 : j]$ 的 $LCS$ ，$f[i][j] = \min(f[i-1][j], f[i][j-1], f[i-1][j-1] + [ T_i = S_j ])$ ，但是这样的判定是 $O(n ^ 2)$ 的，实在不可取。
将 $f[][]$ 理解为二维平面上的 $n \times n$ 个点，定义横向边、纵向边的边权为 $0$ ，对角边的边权为 $1$ ，问从 $(0, 0)$ 走到 $(n, n)$ 的最大边权之和是否为 $n-1$ 。假设一条从 $(0, 0)$ 走到 $(n, n)$ 的路径经过了 $(i, j)$ ，那么边权之和的最大值为 $Max = \min(i, j) + \min(n - i, n - j) = n - \max(i, j) + \min(i, j)$ ，那么要求 $Max \ge n-1$ ，所以 $|i - j| \le 1$ 。所以，对于 $|i - j| > 1$ ，对答案没有贡献，只需要维护 $f[i][i-1], f[i][i], f[i][i+1]$ 即可。且任何时候如果 $f[i][i]$ 不等于 $i$ 或 $i-1$ ，那么 $f[i][i] < i-1$ ，对答案也没有贡献，直接宣告判断失败。
把一行看作一个整体的状态，我由 $f[0]$ 推出 $f[1]$ ，$f[1]$ 推出 $f[2]$ ，依次类推。设 $g[i][S]$ 表示推到 $f[i]$ ，且 $f[i] = S$ 的方案数，对 $g$ 进行 DP 。由于 $S$ 满足 $f[i][i] = i$ 或 $f[i][i] = i-1$ ，且 $f[i][i] - f[i][i-1] \le 1$ ，$f[i][i+1] - f[i][i] \le 1$ ，所以可以使用 $2 ^ 3$ 个二进制状态进行表示，总的时间复杂度为 $O(2 ^ 3 nm)$ 。
[TH 1587] 小方格
给 $n \times n(n \le 8)$ 的方格，有坏点。对剩下的格子进行黑白染色，问最大纯白色正方形边长为 $0, 1, ..., n$ 的方案数。
差分，转化为求最大纯白色正方形边长小于等于 $x$ 的方案数 $ans[]$ 。
对于给定的染色方案，如何判定最大纯白色正方形的面积是否小于等于 $x$ ？逐行扫描，维护 $S = \left\{ s_1, s_2, ..., s_{n - x} \right\}$ ，$s_i$ 表示扫描到当前行时，第 $i, i+1, i+2, ..., i+x$ 列共同隆起的长度，当 $s_i = x+1$ 时，判定失败。
设 $g[i][T]$ 表示扫描到第 $i$ 行，当前的 $S = T$ 的方案数。$S$ 用长度为 $n-x$ 的 $x+1$ 进制数进行表示。
[TH 1305] 填格子
给 $2 \times m(m \le 1000000)$ 的格子，填 $A$ 、$B$ 、$C$ ，满足：
（1）田字格中，每种颜色都出现过；
（2）相邻颜色不同；
（3）$A$ 有 $a$ 个、$B$ 有 $b$ 个、$C$ 有 $c$ 个，保证 $r + g + b = 2m$ 。
把满足（1）（2）的状态称为合法状态。确定相邻互不相同的第一行，再确定第一行与第二行的对应关系，可以不重不漏地描述出所有的合法状态。
第一行与第二行的对应关系有两种：
|
第一种 |
第二种 | ||||
| A | B | C | A | B | C |
| | | | | | | | | | | | |
| C | A | B | B | C | A |
对满足第一种对应关系、满足（3）的合法状态个数进行计数：设有 $x$ 个 $A$ 对应 $C$ ，$y$ 个 $B$ 对应 $A$ ，$z$ 个 $C$ 对应 $B$ ，合法当且仅当 $x + y = a, y + z = b, z + x = c$ ，可以唯一地解得 $(x, y, z) = (m - a, m - b, m - c)$ ，所以只需要求将 $x$ 个 $A$ 、$y$ 个 $B$ 、$z$ 个 $C$ 排成一排，且相邻两个不同的方案数，可以用 [TH 2140] 计数 一题的方法做。
对满足第二种对应关系，$(x, y, z)$ 的解相同，把第一次的答案乘 $2$ 即可。
[TH 1841] Intervals
在长度为 $m$ 的序列选 $n$ 个互不包含的区间，且点 $x$ 不能作为区间的左端点，求方案数。
$n \times m \le 100000$ 。
以每个点作为左端点（右端点），最多只有一个区间，否则包含。所以若合法，那么 $n \le m$ ，所以 $n \le 500$ 。
用流程描述合法选择方案：从左往右扫描，时刻维护左端点队列 $Q$ ；扫到每个点的时候，可以在这个点建立一个左端点，将左端点加入 $Q$ ，可以在这个点建立一个右端点，将 $Q$ 的队头与当前点匹配；扫描完之后 $Q$ 空。
对这个流程进行 DP ，$f[i][j][k]$ 表示当前扫描到了第 $i$ 个点，已经确定了 $j$ 个区间的左端点，当前队列中有 $k$ 个区间的左端点的方案数。边界为 $f[0][0][0] = 1$ ，答案为 $f[m][n][0]$ ，转移分 "是否建立左端点" 、"是否建立右端点" 共四类讨论。
[AGC 002F] 球
有 $n(\le 2000)$ 种颜色的球，每种各有 $K(\le 2000)$ 个，将这 $n \times K$ 个球排成一列，将每种球的第一个染成颜色 $0$ ，问可能得到多少种不同的颜色序列。
钦定第一次出现的球的顺序：第 $1$ 个第一次出现的球的颜色为 $1$ 、第 $2$ 个第一次出现的球的颜色为 $2$ 、...、第 $n$ 个第一次出现的球的颜色为 $n$ ，然后对答案乘上 $n!$ 。
可以通过这样一个流程来描述最终的染色序列：从 $n$ 到 $1$ 枚举颜色 $i$ ，每次将 $K-1$ 个颜色 $i$ 的球和 $1$ 个颜色为 $0$ 的球插入序列中，保证 $0$ 插在序列的开头，第一个 $i$ 要在第一个 $i+1$ 之前。
受此启发，直接 DP ：设 $f[i][j]$ 表示考虑了颜色 $[n-i+1, n]$ ，序列的开头有 $j$ 个 $0$ 的方案数。